函数中易混淆的几个问题李学武函数不仅是高中数学的核心,而且是学习高等数学的基础。同学们在学习中应注意理解有关概念的内涵,深入分析函数的基本性质。本文就几个易混淆的概念举例说明,供大家参考。一、定义域与值域例1函数的定义域为R,求实数a的取值范围。解:因函数定义域为R,必有不等式的解集为R,故判别式△=4-4a<0,解得a>1,即。例2函数的值域为R,求实数a的取值范围。解:令,则,所以必有能取遍大于0的所有实数。可知,从而的判别式,解得,即。二、自变量与参变量例3对于任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围。解:原不等式转化为,设其解集为A。对于任意,不等式恒成立,所以。又,即原不等式为。①当,即时,。②当,即a=2时,A=R。③当,即a>2时,。要使,显然有a=2。综上知实数a的取值范围是。例4对于任意,不等式恒成立,求实数x的取值范围。解:不等式恒成立,即恒成立。令,对于任意,要使恒成立,只需≥0即可。故,解得或x=1。因此实数x的取值范围是。点评:例4构造了函数f(a),它可以是一次函数也可以为常数函数,不必进行讨论。此题为a变化时不等式恒成立问题,此时a可以看作一个函数的自变量,把x看作参变量,通过转换“身份”,使问题巧妙得到解决。三、有意义与解集例5已知函数的定义域为,求实数a的取值范围。解:因函数f(x)的定义域为[3,,即不等式的解集为[3,,有。①当a=0时,,不合题意。用心爱心专心122号编辑1②当a<0时,,不合题意。③当a>0时,是不等式的解集,所以,即a=1为所求。综上可知实数a的取值范围是。例6已知函数上有意义,求实数a的取值范围。解:由题意知上有意义,即不等式上恒成立。①当a>0时,不等式上恒成立,令,,,从而,所以。②当a=0时,显然不合题意。③当a<0时,,令g(x)=x,时没有最大值,不合题意。综上可知实数a的取值范围是[1,。点评:函数在某个区间上有意义(即在此区间上不等式恒成立),此区间是此函数定义域的子集。四、增区间与增函数例7函数上是增函数,求实数a的取值范围。解:函数的对称轴为,只需,解得,即。例8函数的增区间是,求实数a的取值范围。解:函数的增区间是,则恰有,可知a=4即为所求。点评:函数在某区间上是增函数,则此区间是增区间的子集,增区间是指增函数对应的最大区间。五、函数与函数的反函数例9已知函数,求:(1)函数;(2)的反函数。解:(1)的含义:由,再求。因此解题目标为先求。设,则,即。所以。(2)由,可得,设y=3x+4,则,即。故的反函数为。点评:的反函数不能用来表示,应注意区分的反函数和用心爱心专心122号编辑2两者的含义。六、简单函数f(x)与复合函数f[g(x)]的定义域例10(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2],求的定义域。(2)已知函数的定义域是[0,2],求f(x)的定义域。解:(1)因函数f(x)的定义域是[0,2],所以,可得,即的定义域为[1,2]。(2)由函数的定义域是[0,2],可得,有,故f(x)的定义域为[-2,2]。用心爱心专心122号编辑3