函数中易混淆的几个问题李学武函数不仅是高中数学的核心，而且是学习高等数学的基础。同学们在学习中应注意理解有关概念的内涵，深入分析函数的基本性质。本文就几个易混淆的概念举例说明，供大家参考。一、定义域与值域例1函数的定义域为R，求实数a的取值范围。解：因函数定义域为R，必有不等式的解集为R，故判别式△=4－4a<0，解得a>1，即。例2函数的值域为R，求实数a的取值范围。解：令，则，所以必有能取遍大于0的所有实数。可知，从而的判别式，解得，即。二、自变量与参变量例3对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。解：原不等式转化为，设其解集为A。对于任意，不等式恒成立，所以。又，即原不等式为。①当，即时，。②当，即a=2时，A=R。③当，即a>2时，。要使，显然有a=2。综上知实数a的取值范围是。例4对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解：不等式恒成立，即恒成立。令，对于任意，要使恒成立，只需≥0即可。故，解得或x=1。因此实数x的取值范围是。点评：例4构造了函数f(a)，它可以是一次函数也可以为常数函数，不必进行讨论。此题为a变化时不等式恒成立问题，此时a可以看作一个函数的自变量，把x看作参变量，通过转换“身份”，使问题巧妙得到解决。三、有意义与解集例5已知函数的定义域为，求实数a的取值范围。解：因函数f(x)的定义域为[3，，即不等式的解集为[3，，有。①当a=0时，，不合题意。用心爱心专心122号编辑1②当a<0时，，不合题意。③当a>0时，是不等式的解集，所以，即a=1为所求。综上可知实数a的取值范围是。例6已知函数上有意义，求实数a的取值范围。解：由题意知上有意义，即不等式上恒成立。①当a>0时，不等式上恒成立，令，，，从而，所以。②当a=0时，显然不合题意。③当a<0时，，令g(x)=x，时没有最大值，不合题意。综上可知实数a的取值范围是[1，。点评：函数在某个区间上有意义（即在此区间上不等式恒成立），此区间是此函数定义域的子集。四、增区间与增函数例7函数上是增函数，求实数a的取值范围。解：函数的对称轴为，只需，解得，即。例8函数的增区间是，求实数a的取值范围。解：函数的增区间是，则恰有，可知a=4即为所求。点评：函数在某区间上是增函数，则此区间是增区间的子集，增区间是指增函数对应的最大区间。五、函数与函数的反函数例9已知函数，求：（1）函数；（2）的反函数。解：（1）的含义：由，再求。因此解题目标为先求。设，则，即。所以。（2）由，可得，设y=3x+4，则，即。故的反函数为。点评：的反函数不能用来表示，应注意区分的反函数和用心爱心专心122号编辑2两者的含义。六、简单函数f(x)与复合函数f[g(x)]的定义域例10（1）已知函数f(x)的定义域是[0，2]，求的定义域。（2）已知函数的定义域是[0，2]，求f(x)的定义域。解：（1）因函数f(x)的定义域是[0，2]，所以，可得，即的定义域为[1，2]。（2）由函数的定义域是[0，2]，可得，有，故f(x)的定义域为[－2，2]。用心爱心专心122号编辑3
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