盘点二项式定理八类应用蒋书华二项式定理是高中数学中一个重要知识点，涉及二项式定理应用的题型很多。本文将给出二项式定理的八类应用。同学们熟悉二项式定理的这些应用之后，对于一般遇到的二项式定理的题目就可以解决了。1.求二项式中相关元素求二项式中某些项的系数、二项式系数、常数项及其他一些待确定的问题，是二项式定理最基本的应用。例1.在的展开式中，的系数是系数与系数的等差中项，则_______。解：依题意，，即，因为，所以解得。点评：二项式定理与其他知识点交汇的试题，在选择题、填空题中最为常见。2.确定和（积）的展开式中特定项系数例2.在的展开式中，的系数等于________。解：的系数等于后四个展开式中含的系数和，即为。点评：对于和的展开式中求特定项的系数问题，一般是分别求出再合并得出结论。例3.在的展开式中的系数为_______。解：的展开式中的项为的展开式中、的项分别与、相乘而得的和。因此的系数为：。点评：复杂问题都是由简单问题组合而得到的，只要基础知识掌握得好，问题都能容易解决。3.求展开式各项系数和（差）例4.若，则的值为（）A.1B.C.0D.2解：令，则有。令，则有。。故选A。点评：把所求与已知联系起来进行观察，是寻求解题思路最有效的方法。4.确定展开式的最大（小）项例5.按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是（）A.第4项和第5项B.第5项C.第5项和第6项D.第6项用心爱心专心115号编辑1解：根据二项式系数的性质，的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等，同时取得最大值。但考察项的系数时，第6项系数需乘以得负，而第5项的系数为正，因此只有第5项的系数最大，而第6项的系数最小。故选B。5.求展开式有理数的项数例6.将展开所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有（）A.50项B.17项C.16项D.15项解：。由于是整数，要使系数为有理数，当且仅当、均为整数，即是6的倍数。而在0到100之间6的倍数共有17个，故选B。6.利用二项式定理解整除问题例7.除以100的余数是_________。解：（k为正整数）。除以100的余数是81。点评：整除性问题是二项式定理最为经典的应用，在转化为二项式时要注意除数的特征。7.利用二项式定理进行近似计算例8.某市现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多减少多少公顷？（精确到1公顷）解：设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产M吨/公顷。依题意得，化简得。。即耕地平均每年至多减少4公顷。8.证明不等式例9.求证：（，且）。证明：左式注意到：①；②，。用心爱心专心115号编辑2这样，可以得到。点评：运用二项式定理证明不等式的方法，对与二项式在形式上相近的不等式十分有效。当然有时也可以转化之后再运用二项式定理。用心爱心专心115号编辑3
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