第5节根式、指数、对数考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知识梳理1.根式与指数幂的运算(1)根式①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.②性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝(2)分数指数幂①规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.②有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2.对数与对数的运算(1)对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b(a>0，且a≠1).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(4)换底公式logbN＝(a，b均大于零且不等于1).[常用结论与易错提醒]已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：(1)logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)；(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.诊断自测1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)－1＝8－1＝7.答案B2.若loga2
b>1D.b>a>1解析loga20，b>0)；(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.解(1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.(2)原式＝＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】化简求值：(1)＋2－2×－(0.01)0.5；(2).解(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.(2)原式＝＝a－－－×b＋－＝.考点二对数的运算【例2】(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于()A.B.10C.20D.100(2)计算：÷100－＝________.解析(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.(2)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案(1)A(2)－20规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】(1)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z(2)若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝__________，＝__________.解析(1)取对数：xln2＝yln3＝zln5，＝>(由ln32>ln23可得)，又x，y为正数，∴2x>3y.xln2＝zln5，则＝<(由ln52＜ln25可得)，又x，z为正数，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.(2)由a＞b＞1，得0
