正弦定理、余弦定理及其应用考点梳理1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝____________，c＝____________；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝____________________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有__________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，＝__________，从而sinA＝____________，cosA＝____________，tanA＝____________；sin＝__________，cos＝__________，tan＝__________.tanA＋tanB＋tanC＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sin＝cos⇔2cos＝cos⇔tantan＝.(4)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝____________，c＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1．(1)＝＝＝2R(2)①2RsinB2RsinC②③sinA∶sinB∶sinC2．(1)b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCa2＋b2(2)><(3)互化sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosBsin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②两解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)absinCbcsinAacsinB(a＋b＋c)r(2)π－(B＋C)－sin(B＋C)－cos(B＋C)－tan(B＋C)cossintanAtanBtanC(3)a＋csinA＋sinC(4)acosC＋ccosAacosB＋bcosA基础自测在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝()A．1B.C.D．2解：c2＝1＋4－2×2×＝4，c＝2.故选D.(2017·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A解：sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝()A.B.C.D.解：由题意sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，得sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，即sinC(sinA＋cosA)＝sinCsin＝0，所以A＝.由正弦定理＝，得＝，即sinC＝，得C＝.故选B.(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解：＝＝×＝×＝1.故填1.(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S6＝6×＝.故填.类型一正弦定理的应用(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.解：在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.故填.【点拨】先根据...
