高考小题分项练6平面向量1．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝________.答案解析 a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，∴a·b＝a2＝，∴|a＋b|＝＝＝＝.2．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，则b在a上的投影为______．答案解析由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，得a·(a－3b)＝0＝a2－3a·b＝4－3a·b，a·b＝，所以b在a上的投影为＝＝.3．平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|AP＋BP＋OP|的取值范围是______．答案[7,11]解析设A(a,0)，B(0，b)，a2＋b2＝4，AP＝(2－a，)，BP＝(2，－b)，|AP＋BP＋OP|＝|(6－a,3－b)|＝，令c＝2a＋b，a＝－代入a2＋b2＝4，得(－)2＋b2＝4，化简得b2－cb＋－4＝0，Δ＝－4××(－4)≥0，解得－6≤c≤6，则|AP＋BP＋OP|的取值范围是[7,11]．4．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足AB·AD＋AC·AD＝BC2，则|BC|＝________.答案2解析因为AD是直径，所以∠ABD＝∠ACD＝，所以AB·AD＝AB2，AC·AD＝AC2，所以AB2＋AC2＝BC2，即∠BAC＝，BC是直径，所以|BC|＝2.5．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，BE＝2EC，点F在边CD上，若AB·AF＝3，则AE·BF的值为________．答案－4解析如图所示，BE＝2EC⇒BE＝BC＝，AB·AF＝3⇒AFcos∠BAF＝1⇒DF＝1，以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，因此BF＝(，－2)，AE·BF＝×－2×3＝2－6＝－4.6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则＝________.答案－3解析如图，作AE∥DC，交BC于点E，则ADCE为平行四边形，EA＝CD＝mBA＋nBC，又EA＝EB＋BA＝BA－BC，所以故＝－3.7．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的取值范围为________．答案[4,6]解析以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，∴AB所在直线的方程为：＋＝1，则y＝3－x.设N(a,3－a)，M(b,3－b)，且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨设a>b， MN＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2，∴CM·CN＝(b,3－b)·(a,3－a)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)＝2(b－1)2＋4,0≤b≤2，∴当b＝0或b＝2时有最大值6；当b＝1时有最小值4.∴CM·CN的取值范围为[4,6]．8．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(a＋c，sinB－sinA)，m＝(a＋b，sinC)，若m∥n，则角B的大小为________．答案解析若m∥n，则(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，由正弦定理可得：(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0，化为a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝＝－. B∈(0，π)，∴B＝.9．已知m＝(cosα，sinα)，n＝(2,1)，α∈(－，)，若m·n＝1，则sin(2α＋)＝________.答案－解析m·n＝2cosα＋sinα＝1，sinα＝1－2cosα，由sin2α＋cos2α＝1，得(1－2cosα)2＋cos2α＝1，即5cos2α－4cosα＋1＝1，又α∈(－，)，解得cosα＝.sin(2α＋)＝－cos2α＝1－2cos2α＝－.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sinB，cosA)，m⊥n，b＝2，a＝，则△ABC的面积为______．答案解析 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sinB，cosA)，m⊥n，b＝2，a＝，∴m·n＝asinB＋bcosA＝sinB＋2cosA＝0，∴sinB＝－，由正弦定理得＝，整理得sinA＝－cosA，∴sin2A＋cos2A＝4cos2A＝1，cosA<0，∴cosA＝－. 0
