第四节平面向量应用举例[考情展望]1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性．一、向量在平面几何中的应用1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．2．用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线、相似等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)二、向量在物理中的应用1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．2．向量在速度的分解与合成中的应用．3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.1．已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为()A．2.5B．4C．2D．5【解析】由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)，∴|f3|＝5.【答案】D2．已知O是△ABC所在平面上一点，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则O是△ABC的()A．内心B．重心C．外心D．垂心【解析】OA·OB＝OB·OC⇒OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0⇒OB⊥AC.同理：OA⊥BC，OC⊥AB，∴O是△ABC的垂心．【答案】D3．若AB·BC＋AB2＝0，则△ABC为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【解析】AB·BC＋AB2＝0可化为AB·(BC＋AB)＝0，即AB·AC＝0，所以AB⊥AC.所以△ABC为直角三角形．【答案】D4．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为________．【解析】如图所示．|F1|＝|F|cos60°＝10×＝5(N)．【答案】5N5．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝()A.B.C．2D.【解析】 AB·BC＝1，且AB＝2，∴1＝|AB||BC|cos(π－B)，∴|BC|cosB＝－.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，即9＝4＋|BC|2－2×2×.∴|BC|＝.【答案】A6．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10【解析】 AC·BD＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝××2＝5.【答案】C考向一[080]向量在平面几何中的应用(1)(2014·长沙模拟)在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形(2)(2014·济南模拟)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为两边的三角形面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积(3)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP·(BA－BC)的最大值为________．【思路点拨】(1)是单位向量，结合平行四边形法则及·BC＝0分析AB与AC的关系，借助数量积的定义求∠CBA，进而得出△ABC的形状．(2)借助数量积的定义及三角函数诱导公式求解．(3)可采用坐标法和基向量法分别求解本题．【尝试解答】(1)因为·BC＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又·＝，所以cos∠BAC＝，即∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．(2)依题意可得|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉＝|b||c|sin〈a，b〉＝S平行四边形．∴|b·c|的值一定等于以b，c为邻边的平行四边形的面积．(3)法一(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，则CP·(BA－BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.法二(基向量法) CP＝CA＋AP，BA－BC＝CA，∴CP·(BA－BC)＝(CA＋AP)·CA＝CA2＋AP·CA＝9－AP·AC＝9－|AP|·|AC|·cos∠BAC＝9－3|AP|·cos∠BAC， cos∠BAC为正且为定值，∴当|AP|最小即|AP|＝0时，CP·(BA－BC)取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是...
