3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1]已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________．答案－2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角－απ－απ＋α2π－α－α正弦－sinαsinα－sinα－sinαcosα余弦cosα－cosα－cosαcosαsinα[问题2]cos＋tan＋sin21π的值为_________________________________．答案－3．正弦、余弦和正切函数的常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠＋kπ，k∈Z}值域{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R单调性在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上递增；在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上递减在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上递减在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上递增最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心：(kπ，0)，k∈Z对称中心：(kπ＋，0)，k∈Z对称中心：(，0)，k∈Z对称轴：x＝kπ＋，k∈Z对称轴：x＝kπ，k∈Z无周期性2π2ππ[问题3]函数y＝sin的递减区间是________________．答案(k∈Z)4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]．α＋＝(α＋β)－，α＝－.[问题4]已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.答案－5．解三角形(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5]在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.答案45°6．求三角函数最值的常见类型、方法：(1)y＝asinx＋b(或acosx＋b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母a的讨论．(2)y＝asinx＋bsinx型，借助辅助角公式化成y＝sin(x＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y＝asin2x＋bsinx＋c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sinx|≤1的约束．(4)y＝型，反解出sinx，化归为|sinx|≤1解决．(5)y＝型，化归为Asinx＋Bcosx＝C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y＝a(sinx＋cosx)＋bsinx·cosx＋c型，常令t＝sinx＋cosx，换元后求解(|t|≤)．[问题6]函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为________．答案[－，1]解析y＝(sinx＋)2－， sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝－时，ymin＝－；当sinx＝1时，ymax＝1.∴函数的值域为[－，1]．7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔(a·b)2＝(|a||b|)2⇔x1y2－y1x2＝0.(2)a·b＝|a||b|cosθ，变形：|a|2＝a2＝a·a，cosθ＝，a在b上的投影(正射影的数量)＝.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．[问题7]已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为________．答案3解析因为AB＋AC＝2AO，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有|OA|＝|AC|，所以∠B＝30°.由定义，向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cosB＝2×＝3.8．向量中常用的结论：(1)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)...
