考点规范练23解三角形一、基础巩固1.在△ABC中,c=❑√3,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()A.π4B.πC.2πD.4π答案B解析在△ABC中,c=❑√3,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=❑√3❑√32,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=❑√3,b=2,A=60°,则c=()A.12B.1C.❑√3D.2答案B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.(2018广东中山质检)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面积S=❑√3,则b等于()A.❑√13B.4C.3D.❑√15答案A解析由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=12,∴B=π3.又S=12ac·sinB=12×1×c×❑√32=❑√3,∴c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13,∴b=❑√13.4.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案D解析 △ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=π3. sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3,∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.∴△ABC为等边三角形.5.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°答案B解析依题意可得AD=20❑√10m,AC=30❑√5m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(30❑√5)2+(20❑√10)2-5022×30❑√5×20❑√10=60006000❑√2=❑√22,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.4❑√3B.2❑√3C.2D.❑√3答案A解析 在△ABC中,2a-cb=cosCcosB,∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=12,即B=π3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=12acsinB=❑√34ac≤4❑√3,故选A.7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,则C=.答案π3解析在△ABC中, (sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,∴(a-c)(a+c)b=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12.∴C=π3.8.在△ABC中,B=120°,AB=❑√2,A的角平分线AD=❑√3,则AC=.答案❑√6解析由题意及正弦定理,可知ABsin∠ADB=ADsinB,即❑√2sin∠ADB=❑√3❑√32,故∠ADB=45°.所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2❑√2sin60°=❑√6.9.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为米.答案140❑√6解析由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,由正弦定理得CHsin∠CAH=ACsin∠AHC,可得CH=AC·sin∠CAHsin∠AHC=140❑√6(米).10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?(:参考数据sin38°=5❑√314,sin22°=3❑√314)解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×❑√327=5❑√314,所以∠A...
