专题研究：数列的求和·例题解析VIP免费

【例1】求下列数列的前n项和Sn：(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()nnnnn解(1)S=112=(123n)n2143181212141812…＋＋＋…＋＋…()()nnn=n(n+1)2=1121121121212()()nnnn＋(2)S=13=(13+13++13)+(23+23++23)n32n-1242n2313231323234212………nn=13()()()1131132311311358113222222nnn(3)先对通项求和a=1S=(222)(1+14++12)nnn-11214122121211…∴＋＋…＋－＋…nn=2n(1+14++12)=2n2n-1－＋…－＋12121n【例2】求和：(1)11+123+134+(2)11(3)12···…···…···…2115137159121235158181113132nnnnnn()()()()()解(1)1n(n+1)111111212131314111nnSnnn∴…()()()()1111nnn(2)1(2n1)(2n+3)S=n141211231411513171519123121121123()[]nnnnnn∴…=141131211234532123[]()()()nnnnnn(3)1(3n1)(3n+2)S=13n131311321215151818111131132()[()()()()]nnnn∴…=13()1213264nnn【例3】求下面数列的前n项和：1147(3n2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121aaan分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等1a比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并．解设数列的通项为an，前n项和为Sn则＋∴…＋＋＋＋…＋－a=1a(3n2)S=[147(3n2)]nn1n()111121aaan当时，＋·当≠时，a=1S=na1S=11a11annn[()]()()1322321322131221nnnnnnaaannnnn说明等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论．【例4】a=k(kN*)aaak设＋＋…＋∈，则数列，，，12357222123…的前n项之和是[]ABCD．．．．613161612nnnnnnnn()()解bb=nn设数列，，，…，的通项为．则35721123aaanan又 ＋＋…＋＋＋∴a=12n=n(n1)(2n1)b=6n(n+1)=6(1n1n+1)n222n16数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn=6=6=6nn+1(A)[()()]()1121311213111111……选．nnnn【例5】求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N)上分母是3的不可约分数之和．解法一[ab]3a1a2b1区间，上分母为的所有分数是，，，＋，，，＋，…，－，，，它是以为首项，以为公差的等差数列．33313323343353323313333313aaaaabbba项数为－＋，其和－＋＋3b3a1S=12(3b3a1)(ab)其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b其和′－＋＋S=12(ba1)(ab)故不可约分数之和为SS=12(ab)[(3b3a1)(ba1)]－′＋－＋－－＋=b2－a2解法二 …S=3a+13+3a+23+3a+43+3a+53++3b23+3b13∴＋＋＋＋＋＋＋＋…＋－＋－而又有－＋－＋－＋－＋…＋＋＋＋S=(a)(a)(a)(a)(b)(b)S=(b)(b)(b)(b)(a)(a)132343532313132343532313两式相加：2S=(a＋b)＋(a＋b)＋…＋(a＋b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数．即3(b－a)＋1－(b－a＋1)=2(b－a)∴2S=2(b－a)(a＋b)∴S=b2－a2【例6】求下列数列的前n项和Sn：(1)a，2a2，3a3，…，nan，…，(a≠0、1)；(2)1，4，9，…，n2，…；(3)1，3x，5x2，…，(2n－1)xn-1，…，(x≠1)(4)1224382，，，…，，…．nn解(1)Sn=a＋2a2＋3a3＋…＋nan a≠0∴aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋(n－1)an＋nan+1Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1 a≠1∴()()()()111111121aSaaanaSaaanaannnnnn(2)Sn=1＋4＋9＋…＋n2 (a＋1)3－a3=3a2＋3a＋1∴23－13=3×12＋3×1＋133－23=3×22＋3×2＋143－33=3×32＋3×3＋1……n3－(n－1)3=3(n－1)2＋3(n－1)＋1(n＋1)3－n3=3n2＋3n＋1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n=3(123n)n2222＋＋＋…＋＋＋312nn()∴12＋22＋32＋…＋n2=[(n1)1n]=[n3n3nn]3321331213312＋－－－＋＋－－nnnn()()=n(2n3n1)=n(n1)(2n1)21616＋＋＋＋(3) Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1∴xSn=x＋3x2＋5x3...