第八节函数与方程[考情展望]1.考查具体函数的零点个数和零点的取值范围.2.利用函数零点求解参数的取值范围.3.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想．一、函数零点1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.对函数零点的认知(1)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝.(2)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况根的分布(m＜n＜p为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m(两根都小于m)m＜x1＜x2(两根都大于m)x1＜m＜x2(一根大于m，一根小于m)f(m)＜0x1，x2∈(m，n)(两根位于m，n之间)m＜x1＜n＜x2＜p(两根分别位于m与n，n与p之间)只有一根在m，n之间或f(m)·f(n)＜0三、二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】依题意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.【答案】C2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.B.C.D.【解析】显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不间断，又f＝－1＞0，f＝－2＜0.∴由零点存在定理知，f(x)在内存在零点．【答案】C3．函数f(x)＝x－x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．【答案】B4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)·f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.【答案】(－2,0)5．(2013·重庆高考)若a0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】A6．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．【答案】B考向一[031]函数零点的求解与判断(1)(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)(2014·广州模拟)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．【思路点拨】(1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．【尝试解答】(1)因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点．在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象，如图所示． f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝8－0＝7＞0∴f(1)f(2)＜0，∴x0∈(1,2)．【答案】(1)B(2)(1,2)规律方法1确定函数fx零点所在区间的...
