专题强化训练(四)(建议用时：45分钟)[学业达标练]一、选择题1．cos555°的值为()【导学号：84352357】A．B．－C．D．B[cos555°＝cos(360°＋180°＋15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－＝－.]2．sinαcos(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)等于()A．－B．C．－D．A[sinαcos(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)＝sin[α－(α＋30°)]＝sin(－30°)＝－sin30°＝－.]3．已知α，β∈，sinα＝，cosβ＝，则α－β等于()【导学号：84352358】A．－B．C．D．－或A[∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，∵β∈，cosβ＝，∴sinβ＝，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－，又α－β∈，∴α－β＝－.]4．函数y＝cos2＋sin2－1是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数C[y＝＋－1＝cos－cos＝＝sin2x，∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．]5．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω＞0，a∈R)．且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则ω的值为()【导学号：84352359】A．B．－C．－D．A[f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a，依题意得2ω·＋＝⇒ω＝.]二、填空题6．已知函数f(x)＝sin(π－x)sin＋cos2(π＋x)－，则f＝________.[∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋·－＝sin，∴f＝sin＝cos＝.]7．若α、β为锐角，且满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ＝________.【导学号：84352360】[∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．由cosα＝，求得sinα＝，由cos(α＋β)＝求得sin(α＋β)＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]8．若＝2018，则＋tan2α＝________.2018[＋tan2α＝＋＝＝＝＝＝2018.]三、解答题9．已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值.【导学号：84352361】[解](1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.10．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin2α的值．[解](1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.因为＜α＜，所以＜2α＋＜，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sin－cos＝×－×＝.[冲A挑战练]1．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于()A．2B．3C．4D．5C[由已知得，4(tanα－tanβ)＝16(1＋tanαtanβ)，即＝4，∴tan(α－β)＝4.]2．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是()【导学号：84352362】A．[－1,1]B．C．D．B[∵B＝45°，∴A＋C＝135°，C＝135°－A，∴cosAsinC＝cosAsin(135°－A)＝cosA·＝cos2A＋sinAcosA＝·＋·＝(sin2A＋cos2A＋1)＝[sin(2A＋45°)＋1]＝sin(2A＋45°)＋，∵0°＜A＜135°，∴45°＜2A＋45°＜315°，∴－1≤sin(2A＋45°)≤1，∴cosAsinC∈.]3．已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，若a⊥b，则cos＝________.－[因为a⊥b，所以4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，解得sinα＝.又因为α∈，所以cosα＝.cos2α＝1－2sin2α＝，sin2α＝2sinαcosα＝，于是cos＝cos2αcos－sin2αsin＝－.]4．函数f(x)＝的值域为________．[f(x)＝＝＝2sinx(1＋sinx)＝22－，由1－sinx≠0得－1≤sinx＜1，所以f(x)＝的值域为.]5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sinxcosx)＋b.(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；(2)当a＜0且x∈时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值.【导学号：84352363】[解]f(x)＝a·＋a·sin2x＋b＝sin＋＋b.(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin≤1，f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，∴a＝2－2，b＝4.
