§5.4平面向量的应用1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量的符号形式及图形形式的重要结论(1)向量的和与差的模：＝____________，＝________________________.(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：________________；②O为△ABC外心的一个充要条件：________________；③P为△ABC垂心的一个充要条件：________________.(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β∈R，使得OA＝αOB＋βOC，O为平面任意一点，且____________．3．向量坐标形式的几个重要结论设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．(1)长度或模＝____________；＝__________________.(2)夹角cosθ＝____________＝__________________.(3)位置关系a∥b⇔__________(b≠0且λ∈R)⇔___________.a⊥b⇔____________⇔____________.自查自纠2．(1)(2)①GA＋GB＋GC＝0②＝＝③PA·PB＝PB·PC＝PC·PA(3)α＋β＝13．(1)(2)(3)a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0一艘船从点A出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8km/h，则江水的流速的大小为()A．2km/hB．4km/hC．3km/hD.km/h解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B正确，故选B.已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则的最大值为()A．1B.C.D．2解： a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)，∴＝＝.∴|a－b|的最大值为.故选B.设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.依题意知f(x)的图象是一条直线，∴a·b＝0，即a⊥b.故选A.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________.解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．()如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AC·DB＝________.解：AC＝AB＋BC，DB＝DA＋AB＝AB－2BC，设AB与BC的夹角为θ，则θ＝60°，cos60°＝，∴AC·DB＝(AB＋BC)·(AB－2BC)＝AB2－AB·BC－2BC2＝1－1×1×－2＝－.故填－.类型一向量与函数、三角函数(1)()已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.解：设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又 |a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜，又 θ∈[0，π]，∴θ∈.故选C.(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π解：由题意知M，N，又OM·ON＝×π－A2＝0，∴A＝π.故选B.(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜.(Ⅰ)若a⊥b，求θ；(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0， －＜θ＜，∴tanθ＝－1，∴θ＝－.(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)．∴|a＋b|＝＝＝.当sin＝1时，|a＋b|取得最大值＝＝＋1.即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.【点拨】向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．(1)()在△ABC中，A＝60°，M是AB的中点，若AB＝2，BC＝2，D在线段AC上运动，则DB·DM的最小值为________．解：在△ABC中，由正弦定理或余弦定理易求得AC＝4.设AD＝λAC(0≤λ≤1)，则DB·...
