几何体的表面积和体积解答基础1．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积．解：圆锥的高，圆柱的底面半径r=1，表面积：圆锥体积：=．2．如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，已知其上、下底面边长分别为3cm和6cm，AA1=3cm，求此三棱台的侧面积和体积．第1页（共7页）解：由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为3cm和6cm的等边三角形，如图O、O1为上、下底面的中心，∴OA=AD=×=2，OD=；O1A1=A1D1=×=，O1D1=∴棱台的高h==，DD1==，∴三棱台的侧面积S=3××=；三棱台的体积V=×（×32+×62+×3×6）×=．3．四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AB⊥BC，现将该梯形绕AB旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积．第2页（共7页）解：依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下部为圆柱的图形，如下图所示：其表面积S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积；∴S=4+8π+4π=12π+4；其体积V=圆锥体积+圆柱体积；∴V=．4.如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．第3页（共7页）解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．（1）圆锥的高h==2，又∵h′=，∴h′=h．∴=，∴r=1．∴S表面积=2S底+S侧=2πr2+2πrh′=2π+2π×=2（1+）π（2）所求体积=5．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，第4页（共7页）设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则∴r=a∴表面积为4πr2=．6．已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．7．已知某个四面体的棱长均为a，（1）求该四面体外接球的体积；（2）求该四面体内切球的体积．解：（1）：∵正四面体的棱长为a，∴此四面体一定可以放在正方体中，第5页（共7页）∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=•=a，所以，球的体积为π•a3=πa3．（2）设正四面体的内切球的半径为r，由于正四面体的每个面的面积为S=•a•a•sin60°=a2，正四面体的高为h==a，故正四面体的体积为V=Sh=a3．再根据V=4[sr]=4×[•a2•r]，可得a3=4×[•a2•r]，求得r=a，故四面体内切球的体积V′=π•r3=•a3．8．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．解：设正方形ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圆上，如图则球心O为ABCD的中心，连结OA'∵正方体的棱长为，∴A0=A′C′=，可得A'O=，即半球的半径R=3，因此，半球的表面积为；体积V=．第6页（共7页）第7页（共7页）
