2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第43章开放型问题1.（2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM．⑵第一步，在中，∴第二步，在中，∴其中，解得．2.（2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1)请按照小明的思路写出求解过程.[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:Zxxk.Com](2)小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.NMBA（22题图）（第25题解答图）NMBA（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，.∵，∴.2分[来源:学科网]∴，.∴.4分（2）证明：作∥交于点，5分则，.∵，∴.∵，，∴.∴.7分∴.8分3.（2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，(第22题)(第22题)HBCDEMNAP得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】解：∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MNK=40°．（2）不能．过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．[来源:学科网ZXXK]又MK≥ME,∴NK≥1．∴．∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得,解得，．即．∴．（情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，同理可得即．∴．[来源:学科网]∴△MNK的面积最大值为1.3．（情况二）[来源:学&科&网Z&X&X&K]4.（2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．[来源:学科网]（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．【答案】（1）证明：连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）证明：过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.∴CD＝EF.[来源:Zxxk.Com]∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.[来源:Zxxk.Com]∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.4.（2011湖北襄阳，21，6分）[来源:学*科*网Z*X*X*K]如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①.ABCDE（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②③；①③②；②③①.3分（2）（略）6分EDCBA图6
