1一元二次方程根与系数对于一元二次方程用+处+2叫心0），当判别式△=宀4处工°时，其求根公式为：-b土-4恥hcx=X,+X.=-—&•心二一CTT1-uL11加；若两根为1'°,当时，则两根的关系为：左；区，haX]+兀二一—xx-x2=—根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当尬，尬时，那么X]、花则是+^=0（^^0）的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程曲+血+讥7根的判别式心二护一仏存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程卅+肚+"巩"0）的两个根珥和毛，进而分解因式，即“忑+办忑+己二砒^—心）（忑—心）。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于兀的方程（1）兀—（1—2国兀斗圧_3=0有两个不相等的实数根，且关于兀的方程（2）怎工+2&-1=0没有实数根，问血取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1）,（2）条件的出的取值范围中筛选符合条件的盘的整数值。解：•・•方程（1）有两个不相等的实数根，13.・.纠=[71-加）尸_43_为沁解得；”^丁••方程（2）没有实数根，.・宀二（-2尸-4（加-1）C0解得°>]；于是，同时满足方程（1）,（2）条件的&的取值范围1是4其中，左的整数值有a=2或位当"2时，方程（1）为X+张+1=0，无整数根；当ffl=3时，方程（1）为兀+乐+6=°，有整数根。解得：心二仝，也二-3所以，使方程（1）有整数根的曲的整数值是a=3o说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定吃的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出区二？，这也正是解答本题的基本技巧。2二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程2朮十U0两根的符号。分析：对于靳+加+己=°（/^0）来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定叫卞或两+心的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定X「也或的正负情况。解：■7=0,.・仏=带—4&心—7）=65>0・••方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为X1'无，...X厂花-2<0.•.原方程有两个异号的实数根。'x2=—<0说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，⑴若盘，古C心十=-—>0xi'=—0则方程有一正一负根；（2）若①，a，则方程有两个正根；⑶若电c眄十工］=_—■（0=—>0门，“，则方程有两个负根.三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程*-族+賦-加十舄°的一个根为2,求另一个根及喘的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把*二2代入原方程，先求出将的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及胸的值。解法一：把A=2代入原方程，得：22—6x2+—2m+5=0即—2m—3=0解得叫二.叫二-1当础二久叫二-1时，原方程均可化为：?-6x+8=0，解得：珂二沢%二4.・.方程/-族+賦-亦+3=0的另一个根为4,喘的值为3或一1。解法二：设方程的另一个根为花，根据题意，利用韦达定理得：珂+冷二一（一Q=6-2m-\-53则兀1十花二一2(陀一2)兀解•••珂二2,.・.把珂二2代入^1+^=-(-6)=6,可得：心二4・•・把心"代入"=42心,可得：沪_2陀+卩比即輕2_2出—3=0解得邂1=3，^2二_〔.・.方程戏-张+肿-加十5二0的另一个根为4,胸的值为3或_1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程兀+2脚—那5+4=0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求搐的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系"两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于喘的方程，即可求得胸的值。解：•・•方程有两个实数根，AA=[2^-2)f-4xlx(^2+4)>0解这个不等式，得胸W0设方程两根为羽‘花=打+4..两2+吃？_忑_花=21.[-2(m-2)f-3(m2+4)=21••整...
