田9.6空间向量的坐标运算一、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为，这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示。在空间选定一点0和一个单位正交基底｛i,j,k｝,rrur以点0为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：X轴、丿轴、Z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们称建立了一个空间直角坐标系O-X%，点0叫rrur做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。①作空间直角坐标系O-xyz时，一般使?xO^yo（或o）,?yO：Zo。②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。说明右手直角坐标系的特点是：从Ox到Oy是逆时针方向③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。rrr给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、八urk为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组(a,a,a)，使rrrua=ai+aj+akr有序实数组(a,a,a)叫做向量a在空间直角坐标系O-卩z中的坐标，可简记作ra=(a,a,a)在空间直角坐标系O-兀％中，对空间任一点A，uuur对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x、八z，使uuurrrurOA=xi+yj+zk有序实数组(x,y,z)叫做点A的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的①AB的中点坐标(x+xy+y纵坐标，z叫做点A的竖坐标二、空间向量的直角坐标运算：rrI・设a=(a,a,a),b=(b,b,b),则rr①a+b=(a+b,a+b,a+b)；rr②a-b=(a-b,a-b,a-b)；r③la=(la,la,la)(I?R)；rr④a?ab+ab+ab；rr⑤a八b?abab+ab=；::a=lbrr⑥a//b?1alb(I?R)。Ia=lbII・若A(兀，J，z)、B(x,y,z),则uuuruuuruuur②AB=OB-OA=(x-x,y-y,z-z)。说明：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示z+zrrr,,),b=(,m，-)，且a?，B)D)uur4、已知°为直角坐标原尿这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。r1、若a=(-则m=(A)(C)2、点P(，-,)关于原点对称的点P如勺坐标是3、设点M(，-,),N是点P(,,)在坐标平uuuur面xOy内的射影，则MN的坐标是。OB=(-,,)，OC八OA，BC//OA，求AC。rr5、右。=(r?,-r)，r=(-,,)。①若〈ka+b)//(a-b)，求实数k的值;uu9②若QQ+b)A(a-b)，求实数氐的值。6、如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、BD的中点，求证：EFAAD。7、如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、CD的中点，求证：DFA平面ADE。DCMr\aVb三、夹角和距离公式：rrI・右a=(a,a,a),b=(b,b,b)，则rrr①Ia=Ja?rrrIb=Jbbrr②cosa?II・若A(兀,j，z),B(x,y,z),贝UuunIAB\=J；(x-x)+(y-y)+(z-z)或dAB=x-x)+(y-y)+(z-z)其中dAR表示A与B两点间的距离，这就是空间AB两点间的距离公式。+a+a+b+brab+ab+ab1、在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AA、CC的中点，则直线DE与DF所成角的余弦值是(A)_(B)_(C)_(D)£2、在棱长为的正方体ABCD-ABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC、AD的中点，那么异面直线OE和DF所成的角的余弦值等于(A)厂(B)_(C)厂(D)厂3、如图，直棱柱ABC-ABC的底面DABC中,CA=CB=，?ACBo，棱AA=，M、N分别是AB、AA的中点。umr①求IBNI；②求证：AB八CM；③求AB与BC的夹角。5、如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG八平面ABCD，垂足为G,G在AD上，且PG=,AG=GD,BG八GC,GB=GC=，E是BC的中点。①求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；②若F点是棱PC上一点，且DF八GC，求PF的FC值。P四、平面的法向量：丨■平面法向量定义：r①如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平r面a，则称这个向量垂直于平面a，记作a人ax二向量，则可取n=桫zxz、T・；-T1-:ra?rrnrr即可得到rr②如果a人a，那么向量a叫做平面a的法向量II■平面的方程：①舟殳式：Ax+By+Cz+D=;②截距式：x+y+z=。abcIII.如何求平面的法向量：方法一：利用平面方程求法向量。若平面a的方程是Ax+By+Cz+D=,则a的r一个法向量是n=(A,B,C)。方举三：利用平面内不共线二向量求法向量。设a、b是平面a内不共线二向量，a的法向量是rrrrn=(x,y,z(或n=(,y,z)或n=(x,,z)或n=(x,y,)方法三：利用向量的外积求法向量。rr若a=(x,y,z)、b=(x,y,z)是a内不共线（其中二阶行列式ad=ad-be）在如图所示的空间直角坐标系中，E是正方体ABCD-ABCD的棱BB的中点，F在CD上，且
