x2221解原式=lim兀T1不定式函数极限的求法不定式极限作为极限的一个特殊又重要的类型,计算起来有些困难,有的甚至会无从下手．因此,寻找一些求解极限的方法和技巧至关重要．常用的一些方法有两种,第一种是初等解法：通过恒等变sinx1形或变量代换转换为非不定式极限的计算，或转化为两个重要极限：lim=1和hm(1+—)“=exTOXnT8n等；另一种方法是：洛必达法则，等价无穷小代换法则，勒公式法，迫敛定理法等．本文着重把一些方法进行归纳，并辅以典型例题，以便学习和掌握有关的解题技巧，提高学习效率．10型不定式极限0O我们把两个无穷小量之比的极限类型记为o型,它是不定式极限中最常见和最重要的极限类型,其它一些不定式极限可通过化简转化成这种类型来计算,掌握这种极限类型的求法是学习其它不定式极限的关键．1.1约等价无穷小法若分子分母都是x的多项式，当xTx时分子分母的极限都等于零，若它们有极限为零的公因0式,我们就先将分子分母分解因式或分子分母有理化,设法约去极限为零的公因式,使分母的极限不再为零,从而求出不定式的极限．x—1例1求4im—XT1\x+1—y2(x一1)G/2+Jx+1)(x一1)(扌2+Qx+1)—,=—=—lim(x+1—2)(2+x+1)XT1x一1_limGx+1+迈)_2\2兀T1sinx1.2重要公式lim=1法兀T0x0对于含有三角函数或者反三角函数的o型不定式极限，我们通常利用三角恒等式，转换成极限sinx例2求limxT022sinx21一2sinx2解原式_limxlimXT0sinx2sin2_sinx2lim*T0sin2—(2)2lim=1或公式的推广求解•兀T0x3lim4沁XT0x2fX丫丄=4.xsm—I2)例5limxT0xsinx例3limxT09arcsinx分析直接求解有些困难，可把函数转化成没有反三角函数的形式，令arcsinx=t则x=sint,当XT0时,tT05sint5解原式=lim=-tT9t91.3洛必达法则定理[3]P(127)(洛必达法则)若函数f和g满足:(i)limf(x)=limg(x)=0；XTx0xTx0(ii)在点x的某空心邻域U0(x)内两者都可导，且g'(x)丰0；00(iii)lim二A(A可为实数也可为±g,g);xTx”g'(x)lim四二lim加二A・xTx0g(x)xTx0g'(x)运用洛必达法则必须满足以上三个条件,并且计算过程中可多次使用此方法,直到分母极限不为零为止,如例4．但对于一些比较复杂的不定式极限计算时不能盲目的用洛必达法则,当洛必达法则失效时不能确定原极限一定不存在,如例5．因此上述三个条件是洛必达法则的充分条件不是必要条件洛必达法则是解不定式极限最主要且十分有效的方法,对一些分子分母的导数容易求得,并且可以多次使用,计算起来比较简便ln(1+x)-x例4limxT0COSx一1解原式=lim!±^=lim-(一x^=lim-=1xT0-sinxxT0-cosxxT0(1+x)2cosxx2sin-分析此题属于0型不定式极限时,sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,ex—1~x,In(1+x)〜x,n1+x—1~—n4111112xsin+x2cos—-(—)2xsin—cos—错解原式=limxx二=limx-xT0cosx兀T0cosx11因为limcos—不存在,limcosx=1,lim2xsin=0,所以原极限不存在.XT0xxT0XT0x1xsin—1正解原式=limx=limxsin=0xT0聾xT0xx错解错在此题没有都满足上述的三个条件,方法失效,应该用别的方法．这很好的说明这三个条件是充分条件而非必要条件．运用此方法应注意,在连续运用此方法时,要检查看是否符合用洛必达法则的条件,一旦出现分母极限不为零立即停止运算，不能茫目的求解，出现错误结果.还应注意不是所有的0型不定式极限都能用此方法．1.4变量换元法如果极限形式十分复杂，可尝试采用变量换元法加以变形，使其简化易求sin(sinx)例6求limxT01-esinx解设sinx=t，则tT0sintcost原式=lim=lim=-1tT01—ettT0—et1.5等价无穷小代换法若两个无穷小量等价,求解极限的过程中可以相互代替以简化运算,利用等价无穷小量代换以求aa，极限的方法叫做等价代换法.若a〜a：卩〜卩：(xTx0)豎厂理戸，这是-种非常简单的方法,把一些比较复杂的函数进行等价无穷小代换,达到简化运算步骤,快速求出极限的目的．但应注意：分子分母中和差项不能分别代换，只能分子分母整体代换.常用的等价无穷小代换有：xT0tanx例7求limxT0+x—1解因为xT0时,tanx〜+x-1~—x^2所以原式=lim=2XT0送2例105十x—arcsinx原式=hmx—arcsinx十=lim=limx3x=lim1—x2—1设*1—t-13(1-12)t=lim-13(1+1)t十ex-1-sinxlimex-cosxex+sinxex+cosx=lim=lim=lim3x6x-arcsinx例8求limxT0e...
