d）自由落■“等时圆”模型的规律及应用等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径体的时间，即=2仁（式中R%圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为a，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a二gsina，位移为s=dsina，所以运动时间为■2dsina■2d='■a\gsinag即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定t=tABAD匹=2丄\：gg与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。例2：如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个■——小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求0、P两点之间的距离OP。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。s-=如图6所示，此时等时圆的半径为：R=OP=H+hi2h所以OP=、R2-(-)2*H(H+h)例4：如图7,AB是一倾角为e的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P处以最短达输送带道与竖直角应为多的时间到上，则管方向的夹可见t与0有关。为R,则R1=〒gsin0t2,4Rgsin20当0=45o时，t最小，解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切,如图所示，C为切点，0为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于0/2。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为卩，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为2Rcos0，bd面上物体下滑的加速度为a=gcos9-ugsin0，t二bd4R迺=2匸Zgcos0-^gsin0'g—pgtan02、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板a0、b0、c0，其下端都固定于底部圆心0,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为3Oo、45o、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）A、a处小孩最先到0点B、b处小孩最先到0点亠-C、c处小孩最先到0点D、a、c处小孩同时到0点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径0=3Oo和6Oo时，sin20的值相等。例3：如图3,在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）—定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少?L14L【解析】：二一gsin0t2,t2=,当0=45o时，t最小cos02gsm20训练1、如图所示,oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆,0、a、b、c、d位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从o点无初速释放，依次表示A.B.C.D.答案详解D解：以O点为最高点，取时圆，交ob于b,如图所示，显然o比较图示位移：,,/'合适的竖直直径oe作等/到f、b、g、e才是等时的,故推得赳'抵，选项环到达a、b、c所用的时间，则（）ABC错误,D正确.2、...
