数列通项公式的求法集锦一,累加法形如1()nnaafn(n=2、3、4⋯...)且(1)(2)...(1)fffn可求,则用累加法求na。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。例1.在数列{na}中,1a=1,11nnaan(n=2、3、4⋯⋯),求{na}的通项公式。解: 111na时,21324312123.......1nnnaaaaaaaan时,这n-1个等式累加得:112...naa(n-1)=(1)2nn故21(1)222nnnnnaa且11a也满足该式∴222nnna(nN).例2.在数列{na}中,1a=1,12nnnaa(nN),求na。解:n=1时,1a=121232343112222.......2nnnnaaaaaaaa时,以上n-1个等式累加得21122...2nnaa=12(12)12n=22n,故12221nnnaa且11a也满足该式∴21nna(nN)。一、累乘法形如1()nnafna(n=2、3、4⋯⋯),且(1)(2)...(1)fffn可求,则用累乘法求na。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。例3.在数列{na}中,1a=1,1nnana,求na。解:由已知得1nnana,分别取n=1、2、3⋯⋯(n-1),代入该式得n-1个等式累乘,即3241231........nnaaaaaaaa=1×2×3×⋯×(n-1)=(n-1)!所以时,1(1)!nana故(1)!nan且10!a=1也适用该式∴(1)!nan(nN).例4.已知数列{na}满足1a=23,11nnnaan,求na。解:由已知得11nnanan,分别令n=1,2,3,⋯.(n-1),代入上式得n-1个等式累乘,即3241231........nnaaaaaaaa=1231......234nn所以11naan,又因为123a也满足该式,所以23nan。三、构造等比数列法原数列{na}既不等差,也不等比。若把{na}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比,从而求出na。该法适用于递推式形如1na=nbac或1na=nbafn或1na=nnbac其中b、c为不相等的常数,fn为一次式。例5、(06福建理22)已知数列{na}满足1a=1,1na=21na(nN),求数列{na}的通项公式。解:构造新数列nap,其中p为常数,使之成为公比是na的系数2的等比数列即1nap=2()nap整理得:1na=2nap使之满足1na=21na∴p=1即1na是首项为11a=2,q=2的等比数列∴1na=122nna=21n例6、(07全国理21)设数列{na}的首项1(0,1)a,na=132na,n=2、3、4⋯⋯()求{na}的通项公式。解:构造新数列nap,使之成为12q的等比数列即nap=11()2nap整理得:na=11322nap满足na=132na得32p=32∴p=-1即新数列1na首项为11a,12q的等比数列∴1na=1(1a)112n()故na=1(1a)112n()+1例7、(07全国理22)已知数列{na}中,1a=2,1na=(21)(2)nanN()求{na}的通项公式。解:构造新数列nap,使之成为21q的等比数列1nap=(21)()nap整理得:1na=(21)na+(22)p使之满足已知条件1na=(21)na+2(21)∴(22)2(21)p解得2p∴{2}na是首项为2221q的等比数列,由此得2na=(22)1(21)n∴na=2(21)2n例8、已知数列{na}中,1a=1,1na=23nna,求数列的通项公式。分析:该数列不同于以上几个数列,该数列中含3n是变量,而不是常量了。故应构造新数列{3}nna,其中为常数,使之为公比是na的系数2的等比数列。解:构造数列{3}nna,为不为0的常数,使之成为q=2的等比数列即113nna=2(3)nna整理得:1na=12(233)nnna满足1na=23nna得12333nnn∴1新数列{3}nna是首项为113a=2,q=2的等比数列∴3nna=122n∴na=32nn例9、(07天津文20)在数列{na}中,1a=2,1na=431nan,求数列的通项na。解:构造新数列{}nan,使之成为q=4的等比数列,则1(1)nan=4()nan整理得:1na=43nan满足1na=431nan,即331nn得1∴新数列{}nan的首项为111a,q=4的等比数列∴14nnan∴14nnan四、构造等差数列法数列{na}既不等差,也不等比,递推关系式形如11()nnnababfn,那么把两边同除以1nb后,想法构造一个等差数列,从而间接求出na。例10.(07石家庄一模)数列{na}满足1221nnnaa(2)n且481a。求(1)1a、2a、3a(2)是否存在一个实数,使此数列{}2nna为等差数列?若存在求出的值及na;若不存在,说明理由。解:(1)由4a=43221a=81得3a=33;又 3a=32221a=33得2a=13;又 2a=21221a=13,∴1a=5(2)假设存在一个实数,使此数列{}2nna为等差数列即1122nnnnaa=122nnnaa=212nn=112n该数为常数∴=1即1{}2nna为首项11122a,d=1的等差数列∴12nna=2+(1)1n=n+1∴na=(1)21nn例11、数列{na}满足1na=12(2)nna(nN),首项为12a,求数列{na}的通项公式。解:1na=12(2)nna两边同除以1(2)n得11(2)nna=(2)nna+1∴...