数列通项公式的求法集锦一，累加法形如1()nnaafn(n=2、3、4⋯...)且(1)(2)...(1)fffn可求，则用累加法求na。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.在数列{na}中，1a=1，11nnaan(n=2、3、4⋯⋯)，求{na}的通项公式。解： 111na时，21324312123.......1nnnaaaaaaaan时,这n-1个等式累加得：112...naa（n-1）=(1)2nn故21(1)222nnnnnaa且11a也满足该式∴222nnna(nN).例2．在数列{na}中，1a=1，12nnnaa(nN),求na。解：n=1时,1a=121232343112222.......2nnnnaaaaaaaa时,以上n-1个等式累加得21122...2nnaa=12(12)12n=22n，故12221nnnaa且11a也满足该式∴21nna(nN)。一、累乘法形如1()nnafna(n=2、3、4⋯⋯)，且(1)(2)...(1)fffn可求，则用累乘法求na。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{na}中，1a=1，1nnana，求na。解：由已知得1nnana，分别取n=1、2、3⋯⋯(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即3241231........nnaaaaaaaa=1×2×3×⋯×(n-1)=(n-1)!所以时，1(1)!nana故(1)!nan且10!a=1也适用该式∴(1)!nan(nN).例4．已知数列{na}满足1a=23，11nnnaan，求na。解：由已知得11nnanan，分别令n=1，2，3，⋯.(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即3241231........nnaaaaaaaa=1231......234nn所以11naan，又因为123a也满足该式，所以23nan。三、构造等比数列法原数列{na}既不等差，也不等比。若把{na}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出na。该法适用于递推式形如1na=nbac或1na=nbafn或1na=nnbac其中b、c为不相等的常数，fn为一次式。例5、（06福建理22）已知数列{na}满足1a=1，1na=21na(nN)，求数列{na}的通项公式。解：构造新数列nap，其中p为常数，使之成为公比是na的系数2的等比数列即1nap=2()nap整理得：1na=2nap使之满足1na=21na∴p=1即1na是首项为11a=2，q=2的等比数列∴1na=122nna=21n例6、（07全国理21）设数列{na}的首项1(0,1)a，na=132na，n=2、3、4⋯⋯（）求{na}的通项公式。解：构造新数列nap，使之成为12q的等比数列即nap=11()2nap整理得：na=11322nap满足na=132na得32p=32∴p=-1即新数列1na首项为11a，12q的等比数列∴1na=1(1a）112n（）故na=1(1a）112n（）+1例7、（07全国理22）已知数列{na}中，1a=2，1na=(21)(2)nanN（）求{na}的通项公式。解：构造新数列nap，使之成为21q的等比数列1nap=(21)()nap整理得：1na=(21)na+(22)p使之满足已知条件1na=(21)na+2(21)∴(22)2(21)p解得2p∴{2}na是首项为2221q的等比数列，由此得2na=(22)1(21)n∴na=2(21)2n例8、已知数列{na}中，1a=1，1na=23nna，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n是变量，而不是常量了。故应构造新数列{3}nna，其中为常数，使之为公比是na的系数2的等比数列。解：构造数列{3}nna，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即113nna=2(3)nna整理得：1na=12(233)nnna满足1na=23nna得12333nnn∴1新数列{3}nna是首项为113a=2，q=2的等比数列∴3nna=122n∴na=32nn例9、（07天津文20）在数列{na}中，1a=2，1na=431nan，求数列的通项na。解：构造新数列{}nan，使之成为q=4的等比数列，则1(1)nan=4()nan整理得：1na=43nan满足1na=431nan，即331nn得1∴新数列{}nan的首项为111a，q=4的等比数列∴14nnan∴14nnan四、构造等差数列法数列{na}既不等差，也不等比，递推关系式形如11()nnnababfn，那么把两边同除以1nb后，想法构造一个等差数列，从而间接求出na。例10．（07石家庄一模）数列{na}满足1221nnnaa(2)n且481a。求(1)1a、2a、3a(2)是否存在一个实数，使此数列{}2nna为等差数列？若存在求出的值及na；若不存在，说明理由。解：(1)由4a=43221a=81得3a=33；又 3a=32221a=33得2a=13；又 2a=21221a=13，∴1a=5(2)假设存在一个实数，使此数列{}2nna为等差数列即1122nnnnaa=122nnnaa=212nn=112n该数为常数∴=1即1{}2nna为首项11122a，d=1的等差数列∴12nna=2+(1)1n=n+1∴na=(1)21nn例11、数列{na}满足1na=12(2)nna(nN)，首项为12a，求数列{na}的通项公式。解：1na=12(2)nna两边同除以1(2)n得11(2)nna=(2)nna+1∴...
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