数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()naanddnadnN1*11()nnnaaaqqnNq二、累加法)(1nfaann例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。2nan例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（31.nnan）三、累乘法nnanfa)(1例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。（(1)12325!.nnnnan）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列{}na的通项公式。例4已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，，求{}na的通项公式。（!.2nna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaaL，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。四、待定系数法qpaann1nfpaann1nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。例5已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。（125nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。例6已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（1133522nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列{522}nna是等比数列，进而求出数列{522}nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。例7已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。（42231018nnann）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。五、递推公式为nS与na的关系式(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn例8已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.六例9已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaL，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例10已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan⑩设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny○11将⑩式代入○11式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanxnyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255xnxyxny，则lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入○11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan○12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a及○12式，得lg3lg3lg2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2{lg}4164nan的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。八、迭代法例11已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1)23212[]nnnnnnnnnaaa2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(2)(1)(1)123(1)223(...
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