实用标准文案精彩文档三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论........................................................................11、外心..................................................................................12、内心..................................................................................23、垂心..................................................................................34、重心..................................................................................55、外心与内心............................................................................66、重心与内心............................................................................77、外心与垂心............................................................................78、外心与重心............................................................................79、垂心与内心............................................................................810、垂心、重心、外心.....................................................................8旁心.....................................................................................8二、“四心”的联想..........................................................................81、由内心、重心性质产生的联想............................................................82、重心的巧用............................................................................93、三角形“四心”与一组面积公式.........................................................11三角形各心间的联系........................................................................13与三角形的心有关的几何命题的证明..........................................................14三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)∠A=AOBCAOCBBOC21,21,21。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．YXZ3-111OZYXCBA实用标准文案精彩文档例1、如图9-1所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。例2、如图9-2所示，在△ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为△ABC的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B。例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。(3)∠BIC=90o+21∠A，∠CIA=90+21∠B，∠AIB=90o+21∠C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3...
