标准实用文案文档平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。例1．已知a//b,A∈a,B∈b,C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明： a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3） A∈a,b∈b,c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。写法（二）：证明： a//b（知） a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b,C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点， AB∩AC=A∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点， A∈a,B∈b,C∈b,a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a,b，AB，AC共面。关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。分析由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。证明： a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3） b//c（已知）∴b,c确定一个平面β（推论3） A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α,∴直线ABα即dα（公理1）同理可证：dβ,∴α，β都经过b和d， b∩d=B∴α与β重合（推论2）。三、证明三线共点，三点共线的方法1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上；2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。例3：已知如图，α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.标准实用文案文档求证：A∈l（或者a,b,l共点）分析：只需证明A为α，β的公共点。证明： a∩b=A,aα,bβ,∴A∈aα,A∈bβ,即A为α，β的一个公共点， l是α和β的交线，∴A∈l.例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。求证：D，E，F共线。证明： ΔABC顶点不共线，∴A，B，C可确定平面β, D∈α且D∈ABβ,∴D是α，β的公共点。同理可证：E，F也是α，β的公共点，∴D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。典型例题一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。求证:直线AB、BC、CA共面。证明: 直线AB和AC相交于点A,∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2). B∈AB,C∈AC,∴BCα(公理1).因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面.说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3及它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明.二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内.已知:直线a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a、b、c、l共面。证明: a∥b.∴a与b确定一个平面(推论3). l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,∴直线AB,即lα.也就是a、b、l共面于α。同法可证明b、c、l共面于β.这就是说b、l既在平面α内又在平面β内.而l∩b=B.由公理3的推论2可知α,β是同一个平面.∴a、b、c、l在同一平面内.说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用...
