《基本不等式》VIP免费

基本不等式（第1课时）情景导入：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标（见下页），会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图形中找出一些相等或不等关系吗？第24届国际数学家大会会标：如果a，bR∈，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221．指出定理适用范围：Rba,2．强调取“=”的条件：ba定理：如果a,bR∈+，那么abba2（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵22()()2abab∴abba2即：abba2当且仅当a=b时abba2基本不等式：注意：1．适用的范围：a,b为正数。2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称2ab为a，b的算术平均数，3.我们把不等式(a≥0,b≥0)2abab称为基本不等式。称ab的几何平均数。为a，b2ab把看做两个正数a，b的等差中项，ab看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?几何直观解释：令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长。2abab具体作图如下：（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C（4）连接AC，BC，CA，则2abOCCDababa+b2baODCBA当a≠b时，OC>CD，即2abab当a=b时，OC=CD，即2abab例1已知a、b>0，求证：，并推导出式中等号成立的条件。2baab≥证明：因为a、b>0，所以，根据均值不等式得0,0baab22babaabab≥即2baab≥当且仅当时，即a2=b2时式中等号成立，baab因为a、b>0，所以式中等号成立的条件是a=b.变式与引申：1.已知,求证：2.已知求证：3.已知，请自编一道不等式证明题。114.abab0,ab0,0ab2baab0ab例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有xy=100(m2)，因为x>0，y>0，所以，2xyxy≥因此，即2(x+y)≥40当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m.（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，因为x>0，y>0，所以，2xyxy≤因此xy≤9将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积最大，最大值是81m2。规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；（积定和最小）两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。（和定积最大）应用与变式：1.把36写成两个整数的积，当这两个整数取什么值时，它们和最小？2.把18写成两个整数的和，当这两个整数取什么值时，它们的积最大？3.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？4.课后探究第一题。课堂小结：1.如果，那么（当且仅当时取等号）。2.如果是整数，那么（当且仅当时取等号）。3.简单应用：1.积定和最小（）2.和定积最大（）0,0ab222ababab.ab2ababab2abab22abab课后作业：课本第11页的练习第1、4题；第12页的第3、7题。课后探究：1.现有长度为L的铁丝，如何才能围成面积最大的图形？2.甲乙两位同学同时到同一个商店分别买了两次糖，甲同学每次买一元钱的，乙同学每次买一斤，如果两次糖的价格不同，问甲、乙两同学谁买的更便宜？欢迎批评与指正！