预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测四渐开线与摆线预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测[学习目标]1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测[知识链接]1.圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？提示根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测2.圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？提示同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测[预习导引]1.渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的叫做渐开线的.(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是线头定圆基圆预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测2.摆线及其参数方程(1)当一个圆沿着一条定直线滚动时，圆周上的一个的轨迹叫做，简称，又叫旋轮线.(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ是参数).无滑动地定点运动平摆线摆线预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测要点一求圆的渐开线参数方程例1用向量的方法求半径为4的圆的渐开线参数方程.解以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0→的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧AM0︵的长和线段AM的长相等，记OA→和x轴正向预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0︵＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA→＝(4cosθ，4sinθ)由几何知识知∠MAB＝θ，AM→＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得OM→＝OA→＋AM→.＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ)).又OM→＝(x，y)，因此有x＝4（cosθ＋θsinθ），y＝4（sinθ－θcosθ）.(θ为参数)这就是所求圆的渐开线的参数方程.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测规律方法用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立适当的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y).(2)选取运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测跟踪演练1半径为2的基圆的渐开线的参数方程为________.解析方程为x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数).答案x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数).预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测要点二求摆线的参数方程例2已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.解令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z).代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ).又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝1kπ(k∈Z).又由实际可知r＞0，所以r＝1kπ(k∈Z＋).易知，当k＝1时，r取最大值为1π.预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测代入即可得圆的摆线的参数方程为x＝1π（φ－sinφ），y＝1π（1－cosφ）(...
VIP
