第四章能带理论1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)=V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a处的能隙2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3简单推导布洛赫（Bloch）定理4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；画出其态密度随能量变化的示意图。5在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。6推导bloch定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。设晶体中第m个原子的位矢为：112233mmmmRaaa⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-1）若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()imrR，该波函数满足方程：22()()()2mimiimVmrRrRrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-2）其中()mVrR为上述第m个原子的原子势场，i是与束缚态i相对应的原子能级。如果晶体为N个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N个相同能量i的束缚态波函数i。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N个简并的系统：能量为i的N度简并态()imrR，m=1，2，⋯，N。实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N个简并态的线性组合(,)()()mimmakrkrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-3）作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：22()()()2UEmrrr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-4）其中晶体势场U(r)是由原子势场构成的，即()()()nlnUVUrrRrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-5）微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式：22()()()2mmVUVEmrRrrRrr代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：[()()()]()0mimimmaEUVrrRrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较i态的轨道大得多，不同原子的i重叠很小，从而有：*inimnmdrRrRr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-6）现以*inrR左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得：*()()[()()]()nimimmimmaEaUVd0rRrrRrRr=⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。我们引入新的积分变量，令mrR，由晶格周期性可知：mUUUrRr，则（5-4-7）式中积分可表示为：*()inminmUVd－RRJRR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-8）上式表明积分值仅取决于原子的相对位置nmRR，因此引入符号()nmJRR。式中引入负号的理由是晶体势场与原子势场的差值UV为负值。将式（5-4-8）代入（5-4-7）式得到方程组：mnminmaEaJRR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-9）不难证明：1mimaeNkR为满足方程组（5-4-9）的解，于是得到：mniinmmEekRRJRR亦即mnsiiinmismmEeekRRkRJRRJR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-10）式中snmRRR为原子的相对位置，与原子标号码m或n无关。（5-4-10）式实际上即为晶体中共有化运动的电子的能量本征值。与该本征值相对应的电子共有化波函数为：1()()miimmeNkRkrrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-11）容易验证，上式所给出的波函数确为布洛赫函数。不妨作下面的变换，()1()()miikimmeeNkrRkrrrR⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-12）进一步可得：1()()ieuNkrkkrr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-4-13）显然，()()luukkrrR是和晶格周期相同的周期函数。8(a)试写出其倒格矢，证明倒格子元胞体积v’=(2)3/V，并画出第一布里渊区示意图。（b）在近自由电子近似下，写出电子在第一布里渊区顶角和各面心上的动能。（c）令a=b=c,紧束缚近似下电子的色散关系为：E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza)试写出态密度N(E)的积分表达式，并指出在哪些能量处N（E）=0，哪些能量处有范霍夫奇点？9简述Bloch定理，解释简约矢k的物理意义，并阐述的取值原则。K为简约波矢，是对应于平移操...
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