等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2），，，；（3），，，。解析：（1）=2；（2）=；（3）=。点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。如（1）已知，则在数列的最大项为__；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法或。例2．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=∴an=2n－1（n∈N）又an+1－an=2为常数，≠常数∴{an}是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。1练一练：设是等差数列，求证：以bn=为通项公式的数列为等差数列。3、等差数列的通项：或。4、等差数列的前和：，。例3：等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()A．S7B．S8C．S13D．S15解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.∴S13＝＝13a7＝p.答案：C例4．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()A．48B．49C．50D．51解析： a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.答案：C如(1)等差数列中，，，则通项；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；例5：设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－72例6：已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为()A．11B．19C．20D．21解析： <－1，且Sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，∴S19＝＝19·a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B2如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝；（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和.5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）6.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.（4）若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。3练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）...
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