3.2回归分析（1）教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．时刻x/s12345678位置观测值y/cm5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.06根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()niiiniixynxybxnxaybx可以得到线性回归方为3.53612.1214yx，所以当9x时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y2．问题：在时刻9x时，质点的运动位置一定是22.6287cm吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计y值的线性函数abx作为确定性函数；y的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将yabx称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差；1②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；②在模型合理的情况下，如何估计a，b？2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有n对观测数据(,)iixy(1,2,3,,)in，根据线性回归模型，对于每一个ix，对应的随机误差项()iiiyabx，我们希望总误差越小越好，即要使21nii越小越好．所以，只要求出使21(,)()niiiQyx取得最小值时的，值作为a，b的估计值，记为a，b．注：这里的i就是拟合直线上的点,iixabx到点,iiiPxy的距离．用什么方法求a，b？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a，b的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到a，b的计算公式为1122211()()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx，其中11niixxn，11niiyyn由此得到的直线yabx就称为这n对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a，b分别为a，b的估计值，a称为回归截距，b称为回归系数，y称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程3.53612.1214yx中，3.5361a，2.1214b．3．线性回归方程yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加b个单位；4．化归思想（转化思想）在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业2知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．（1）byax，令'yy，1'xx，则有''yabx．（2）byax，令'lnyy，'lnxx，'lnaa，则有'''yabx．（3）bxyae，令'lnyy，'xx，'lnaa，则有'''yabx．（4）bxyae，令'lnyy，1'xx，'lnaa，则有'''yabx．（5）lnyabx，令'yy，'lnxx，则有''yabx．四．数学运用1．例题：例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．年份19491954195919641969197419791984198919941999人口数/百万5426036727058079099751035110711771246解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x表示，对应人口数用y表示，得到下面的数据表：x0510152...
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