扬中市第二高级中学2010届高三数学教学案第39课平面向量的坐标表示及数量积【复习目标】1.掌握平面向量的坐标表示及其运算．2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【重点难点】1.掌握平面向量的坐标表示及其运算．2.理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解．【自主学习】一、知识梳理1.平面向量基本定理：（1）如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，使得a=,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的。2.平面向量的坐标表示：（1）a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a－b=（2）若a=(x,y),则a=,当时，表示与a方向相同的单位向量。3.平面向量数量积的概念：（1）向量a与向量b的夹角：向量a与向量b的夹角的范围是（2）a与b的数量积：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为，则叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝，并规定零向量与任一向量的数量积为，即（3）向量数量积的性质：①向量的模与平方的关系：a·a=a2=|a|2()②乘法公式成立:（a+b）(a-b)=a2-b2;(ab)2=a22a·b+b2③平面向量数量积的运算律交换律成立：a·b=b·a对实数的结合律成立：(a)·b=(a·b)=a·(b)(∈R)分配律成立：(ab)·c=a·cb·c=c·(ab)④向量的夹角：1扬中市第二高级中学2010届高三数学教学案cos=当且仅当两个非零向量a与b同方向时，＝00,当且仅当a与b反方向时＝1800.友情提醒：（1）结合律不成立：a·(b·c)≠(a·b)·c(2)消去律不成立：a·b=a·c不能得到b=c(3)a·b=0不能得到a=0或b=0二、课前预习：1.已知=（2，3），=（-5，6），则|+|=，|-|=．2.设=（2，9），=（λ,6），=(-1,μ),若+=,则λ=,μ=.3.已知=（3，0），=（-5，5）则与的夹角为4.已知=（1，-2），=（5，8），=（2，3），则·（·）的值为5.有下面四个关系式（1）·=；（2）（·）=（·）；（3）·=·；（4）0=0，其中正确的个数是6.已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且与的夹角大于90°，则实数m的范围为7.若||=2，||=，与的夹角为45°，要使k-与垂直，则k=【共同探究】例1.已知点C在线段AB上，且∠AOC=600,求的值。例2.已知|a|=6,|b|=8,且a与b的夹角为1500,求（1）a·b;(2)(a－b)2;(3)|a+b|.【变式训练】已知a与b的夹角为1200，且|a|=4,|b|=5,求(a+3b)·(2a－b).2扬中市第二高级中学2010届高三数学教学案例3.设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1，e1、e2的夹角为600,若向量2te1+7te2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围。例4.求与向量a=(,－1)和b=(1,)夹角相等，且模为的向量c的坐标。例5.在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且满足(2a－c)cosB=bcosC.（1）求角B的大小；(2)设m=(sinA,cos2A),n=(4k,1)(k>1),且m·n的最大值是5，求k的值。3扬中市第二高级中学2010届高三数学教学案【巩固练习】1.已知点A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量与的夹角是。2.已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，则实数=。3.已知向量a=(x,3),b=(2,3),若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围是4.已知向量a与b的夹角为1200，|a|=3,|a+b|＝，则|b|=5.在ΔABC中，∠BAC＝1200，AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD,则=.6.在ΔABC中，已知,则ΔABC面积为7.已知单位向量e1,e2的夹角为600，求向量a=e1+e2与b=e2－2e1的夹角。4
