第3讲平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．[注意]当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积[注意]投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.二、习题改编(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．3D．3解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos135°＝－12，所以|b|＝＝6.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×二、易错纠偏(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则BA·AC的值为．解析：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝＝.所以BA·AC＝|BA||AC|cos(π－A)＝－|BA||AC|·cosA＝－3×2×＝－.答案：－2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－23．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝．解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝．【解析】法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE＝5×2×cos30°＋5×2×cos180°－12－2×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.法二：在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin∠ABD＝.设BD与AE的夹角为θ，则cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos30°－sin∠ABD·sin30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故BD·AE＝×2×＝－1.【答案】－1求向量a，b的数量积a·b的两种方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|BC|＝1，所以＝1，所以t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若AD＝AB，则CD·CB...
