四川省南江四中高一数学初高中衔接教材:三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1,在三角形ABCV中,有三条边,,ABBCCA,三个角,,ABCÐÐÐ,三个顶点,,ABC,在三角形中,角平分线、中线、高(如图2)是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1.已知D、E、F分别为ABCV三边BC、CA、AB的中点,求证AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.证明连结DE,设AD、BE交于点G,QD、E分别为BC、AE的中点,则DE//AB,且12DEAB=,GDE\V∽GABV,且相似比为1:2,2,2AGGDBGGE\==.设AD、CF交于点'G,同理可得,'2','2'.AGGDCGGF==则G与'G重合,\AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.例2已知ABCV的三边长分别为,,BCaACbABc===,I为ABCV的内心,且I在ABCV的边BCACAB、、上的射影分别为DEF、、,求证:2bcaAEAF+-==.用心爱心专心1图2图1证明作ABCV的内切圆,则DEF、、分别为内切圆在三边上的切点,,AEAFQ为圆的从同一点作的两条切线,AEAF\=,同理,BD=BF,CD=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\+-=+++--=+==即2bcaAEAF+-==.例3若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明如图,连AO并延长交BC于D.QO为三角形的内心,故AD平分BACÐ,ABBDACDC\=(角平分线性质定理)QO为三角形的重心,D为BC的中点,即BD=DC.1ABAC\=,即ABAC=.同理可得,AB=BC.ABC\V为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图)例4求证:三角形的三条高交于一点.用心爱心专心2已知ABCV中,,ADBCDBEACE^^于于,AD与BE交于H点.求证CHAB^.证明以CH为直径作圆,,,90,oADBCBEACHDCHEC^^\Ð=Ð=QDE\、在以CH为直径的圆上,FCBDEH\Ð=Ð.同理,E、D在以AB为直径的圆上,可得BEDBADÐ=Ð.BCHBAD\Ð=Ð,又ABDV与CBFV有公共角BÐ,90oCFBADB\Ð=Ð=,即CHAB^.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是三角形ABC的外接圆,圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.练习1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.2.(1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为abc、、,则三角形的内切圆的半径是___________;(2)若直角三角形的三边长分别为abc、、(其中c为斜边长),则三角形的内切圆的半径是___________.并请说明理由.用心爱心专心3用心爱心专心4