四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1，在三角形ABCV中，有三条边,,ABBCCA，三个角,,ABCÐÐÐ，三个顶点,,ABC，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为ABCV三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结DE，设AD、BE交于点G，QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且12DEAB=，GDE\V∽GABV，且相似比为1：2，2,2AGGDBGGE\==.设AD、CF交于点'G，同理可得，'2','2'.AGGDCGGF==则G与'G重合，\AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例2已知ABCV的三边长分别为,,BCaACbABc===，I为ABCV的内心，且I在ABCV的边BCACAB、、上的射影分别为DEF、、，求证：2bcaAEAF+-==.用心爱心专心1图2图1证明作ABCV的内切圆，则DEF、、分别为内切圆在三边上的切点，,AEAFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF\=，同理，BD=BF，CD=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\+-=+++--=+==即2bcaAEAF+-==.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明如图，连AO并延长交BC于D.QO为三角形的内心，故AD平分BACÐ，ABBDACDC\=（角平分线性质定理）QO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.1ABAC\=，即ABAC=.同理可得，AB=BC.ABC\V为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）例4求证：三角形的三条高交于一点.用心爱心专心2已知ABCV中，,ADBCDBEACE^^于于，AD与BE交于H点.求证CHAB^.证明以CH为直径作圆，,,90,oADBCBEACHDCHEC^^\Ð=Ð=QDE\、在以CH为直径的圆上，FCBDEH\Ð=Ð.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得BEDBADÐ=Ð.BCHBAD\Ð=Ð，又ABDV与CBFV有公共角BÐ，90oCFBADB\Ð=Ð=，即CHAB^.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为abc、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为abc、、（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________.并请说明理由.用心爱心专心3用心爱心专心4
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