人教版高中数学必修系列：9.10球(备课资料)●备课资料一、进一步理解并应用球的性质球的性质是圆的性质在空间中的延伸，教学中，应要求学生在熟练掌握圆的性质的基础上推导出球的性质，进而使学生在解决与球有关的问题中学会用“变未知为已知”的转化的数学思想，将空间的球变为平面的圆去解决.下面，试举两例，供读者体会.［例1］已知球的两个平行截面分别为5π和8π,它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.分析：作出球的轴截面，实现空间图形平面化，进而利用圆的性质去解决问题.解：如图所示，设这两个截面的半径分别为r1、r2,球心到截面距离分别为d1、d2,球半径为R，则πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.又 R2=r12+d12=r22+d22,∴d12-d22=8-5=3,即（d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,∴解得∴R===3.评述：以上例题中体现了空间球的“与截面垂直的直径过截面圆的圆心”到平面圆的“与弦垂直的直径过弦的中点”及“球半径2=球心到截面圆的距离2+截面圆的半径2”到“圆半径2=圆心到弦的距离2+弦长的一半2”的等价转化思想.［例2］球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π,求这个球的半径.分析：解决这个问题的关键是将已知条件中的“任意两点的球面距离等于大圆周长的”与“经过这三个点的小圆周长为4π”，转化成平面图形图中的问题去解决.解：如图所示，设这三个点是A、B、C，球半径为R，A、B、C所在的小圆半径为r,则2πr=4π,∴r=2.又 A、B、C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的，∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA=.又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.用心爱心专心∴△ABC是半径为2的圆O′的内接三角形.∴△ABC的高为3.∴AB=R=2.评述：(1)本题通过将“两点的球面距离等于大圆周长的”转化成“两点间的线段长等于球的半径”，将“经过三个点的小圆周长为4π,求球的半径”转化成“求周长为4π的圆的内接正三角形的边长”，从而将球面上两点间的距离、弧长公式及圆内接正三角形三者作为整体，体现了等价化归的数学思想，实现了问题的解决.(2)将旧知识灵活巧妙地应用到新问题中，需有牢固的基础和一定的变通能力，这是我们在教学中应引起重视的一个重要方面.二、“两点间的球面距离”的学习1.在“两点间的球面距离”的教学中，应注意些什么？答：(1)球面上两点间的距离，必须是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，而不能在过此两点的球的小圆中求.(2)球面上两点间的距离指的是球面上两点之间的最短距离.2.球面上两点间的距离的求法.设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点间距离为|α|·R,所以求球面上两点间距离的关键是确定球心角.(1)两点在同一经线圆上，可直接计算两点间的劣弧长度.(2)两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l=|α|·r可求得.(3)两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角.对于这一种情况，高考不作要求.［例3］设地球半径为R，城市A位于东经90°，北纬60°，城市B位于东经150°，北纬60°，求城市A与城市B之间的距离.分析：因所求A、B两点在同一纬线圆上，故需先求出弦长，由余弦定理求球心角，再用l=|α|·r求得A、B两点间的球面距离.解：如图，设北纬60°纬度圆圆心为O′，则∠AO1B=60°, r=R·cos60°=R,∴AB=R.在△AOB中，cosAOB===,∴∠AOB=arccos.用心爱心专心∴过A、B的大圆的劣弧长为R·arccos.∴A、B的球面距离为R·arccos.●备课资料一、球体积公式的学习球体积公式叙述了球的体积与球半径之间的函数关系，即V（R）=πR3,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积方法.下面，我们通过例题的分析,体会不同条件下对球半径R不同的求法.［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，则此球的体积是A.πB.4πC.πD.4(+1)π分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系.解： 正方体的体积是8,∴正方体的棱长为2.又 球的半径与内接正方体棱长的关系为2r=a,∴r=.∴球的体积V=...
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