空间角与距离的向量解法河北徐水综合高中张占江邮编072550邮箱www.zhangzhanjiang16@tom..com从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套具有优良通性的数学体系，用以研究空间性质。向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，掌握了向量运算的各种几何意义，能较好地利用向量这一工具解决实际问题。在高考中，涉及空间向量应用于立体几何的试题，着重考查的是应用空间向量的意识和应用空间向量求各种距离、各种角以及证明有关平行关系和垂直关系，常在解答题中出现。一、利用空间向量求角1、求线线角（如图1），设异面直线AB、CD所成的角为，则有cos=|cos〈，〉|2、求线面角（如图2），设直线AB与平面所成的角为，是的法向量，则有sin=|cos〈，〉|3、求二面角（1）（如图3），设二面角为，、分别是、的法向量，则有cos=-|cos〈，〉|cos=|cos〈，〉|cos=-|cos〈，〉|cos=|cos〈，〉|（2）（如图4），设二面角为，AB，CD，则有=〈，〉例1、如图5,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．求异面直线B1F与D1E所成的角；用心爱心专心115号编辑ABCDα图1αABCD图2βαDCBAa图3DAB图4aCαβABCDD1A1B1C1EF图5解：以A为原点，分别以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图6设BE＝x，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，E(a，x，0)，F(a－x，a，0)∴∴因此，B1F⊥D1E．即B1F与D1E所成的角为90说明：本题也可利用线面垂直来证明B1F⊥D1E，也可通过平移直接求异面直线B1F与D1E所成的角，如图7，连接BF、AE、A1D、AD1，在正方形ABCD中，由BE=CF可证得BFAE，又BF为B1F在底面ABCD上的射影，B1FAE，又B1F在面A1ADD1上的射影为A1D，而A1DAD1，B1FAD1，又AD1AE=A，B1F面AED1，而D1E面AED1B1F⊥D1E。显然，利用此法比利用向量解要复杂的多，本题充分体现了利用向量法解决立体几何问题的优越性。例2、如图8，四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90，AB=AD=PD=2，CD=4，E是PB的中点，以DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。（1）若点F平面ABCD，且FE面PBC，，求F点坐标；（2）求直线AB与平面PBC所成的角。解：依题意，知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）,P(0,0,2)F平面ABCD，故可设F（x，y，0）用心爱心专心115号编辑ABCDD1A1B1C1EFxyzG图6ABCDD1A1B1C1EF图7AzyBxFEPDC图8又E（1，1，1），=（x–1，y–1，–1）FE面PBC，,又=（2，2，–2），=（0，4，-2）于是解得，故F（）（2）由（1）知，为平面PBC的法向量，=（），又=（0，2，0），cos====cos=设AB与平面PBC所成的角为,则有=,sin=cos=即AB与平面PBC所成的角为arcsin.说明：本例中，按常规方法。求AB与平面PBC所成的角，需找AB在平面PBC内的射影，而过A点作平面PBC的垂线，垂足的位置不易找到，利用向量来解，巧妙地绕过了这一难点，问题迎刃而解。例3、如图9，正三棱锥ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上一点。（1）当BC1B1P时，求线段AP的长；（2）在（1）的条件下，求二面角C—B1P—C1的大小。用心爱心专心115号编辑zxyCBAA1B1PC1图9解（1）以A为原点，以AB为y轴,AA1为z轴,过A且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图,设AP=m,则有B(0,2,0),C(),C1(),B1(0,2,2),P(0,0,m),=(),=(0,-2,m–2)BC1B1P,=0,解得m=1，即线段AP的长为1。（2）侧面BCC1B1为正方形，BC1B1C又BC1B1P，B1PB1C=B1BC1平面B1PC，BC1为平面B1PC的法向量，且=（），平面的法向量不唯一，故不妨设平面B1PC1的法向量为=（x，y，1）则，又=(0,-2,–1)，=（）解得即平面B1PC1的法向量为（。cos===二面角C1—B1P—C有大小为arccos。说明：①第二问可直接作出二面角的平面角；设B1C与BC1的交点为O，则C1O面B1PC；过C1作B1P的垂线，垂足为E,连OE，则OEC1即为二面角的平面角。用心爱心专心115号编辑②若=（x，y，z）是平面的法向量，如果无其它条件限制，有无数个，而与内两相交直线垂直,故只能列出关于x、y、z的两个方程，因此只能求出其中的两个，为方便，我们这里设法向量=（x，y，1），当然也可以设法向量为=（x，2，z）、=（0，y，z）等。二、利用空间向量求距...
