南通大学实验报告非线性迭代学院：理学院班级：数师153班学号：1502012072姓名：顾阳一、实验解读迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。二、实验计划1.迭代序列与不动点1.1程序对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：Clear[f]f[x_]:=(25*x-85)/(x+3);Solve[f[x]==x,x]g1=Plot[f[x],{x,-10,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],DisplayFunction->Identity];x0=5.5;r={};r0=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[{{x0,0},{x0,x0}}]}];For[i=1,i<=100,i++,r=Append[r,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[{{x0,x0},{x0,f[x0]},{f[x0],f[x0]}}]}]];x0=f[x0]];Show[g1,g2,r,r0,PlotRange->{-1,20},DisplayFunction->$DisplayFunction]x[0]=x0;x[i_]:=f[x[i-1]];t=Table[x[i],{i,1,10}]//NListPlot[t]1.2实验思路首先对函数38525xxy研究不动点，需要（1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{-1,20}可改为{-50,50}；（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-1，0，1，5，5.1，5.001，16,17,18，20，30；（为了图像清楚，将t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分别改为20）（3）对t=Table[x[i],{i,1,20}]//N中20分别改为100，200，500，1000；（4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛，如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与平衡点处曲线的斜率有没有关系，三看初值对结果有没有影响。其次，分别就xxfsin)(，1)(xxf等函数迭代序列}{nx，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。2.Logistic映射与混沌2.1程序从形如xaxxf1的二次函数开始做迭代kkxfx1,1,0k这里，4,0a是一个参数。对不同的a系统地观察迭代的行为。Mathematica程序：IterGeo[a_,x0_]:=Module[{p1,p2,i,pointlist={},v=x0,fv=a*x0*(1-x0)},p1=Plot[{a*x*(1-x),x},{x,0,1},DisplayFunction->Identity];AppendTo[pointlist,{x0,0}];For[i=1,i<20,i++,AppendTo[pointlist,{v,fv}];AppendTo[pointlist,{fv,fv}];v=fv;fv=4*v*(1-v)];p2=ListPlot[pointlist,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];Show[{p1,p2},DisplayFunction->$DisplayFunction]]IterGeo[2.6,0.3]2.2实验思路就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！对a的定义范围[0，4]分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。对Logistic映射讨论下列问题：（1）找出一个a值，它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？你能找到多个a值具有这种性质吗？（2）你能对任意的k找到一个a值，使得它对应的迭代具有k周期点吗？哪些k值能给出k周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？（3）如果某个a值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？（4）试着从理论上分析：xf的不动点是什么？对哪些a值迭代收敛到每个不动点？哪些初值收敛到不动点？哪些初值导致发散？对周期点做类似的分析。研究锯齿函数和帐篷函数的混沌行为时，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序(改变函数，要修改函数的定义方式)，研究数列及蛛网图中的轨道。3....
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