华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。1、求2120)2(coslimxxxx解：)0(21~2sin21cos22xxxx2、若)),sin(arctan2lnxxeyx求'y.解：2ln'11)cos(arctan)sin(arctanln22xxxxexxyx3、求dxxxex2)1(.解：dxxxex2)1(xdxex11=xxex1-dxxxex2')1()(xxex1-dxex=cexxexx14、求幂级数1nnnx的和函数)(xf.解:1||x时'01)(nnnx0)1(nnxn=0nnnx+0nnx0nnnx='01)(nnnx-0nnx=xxx11)1('xx11)1(122)1(xx5、L为过)0,0(O和)0,2(A的曲线)0(sinaxay,求Ldyydxyx.)2()(3Ldyydxyx)2()(3=20xdx+2033sinxdxa+20cos2xdxa+202cossinxdxxa=82323a222aa6、求曲面积分Szdxdydydzzx)2(,其中)10(,22zyxz,取上侧.解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：Szdxdydydzzx)2(=Vdxdydzzzxzx))2((=100202333zVrddrdzdxdydz.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{nxn是互不相等的非无穷大数列，则}{nx至少存在一个聚点).,(0x正确。}{nx在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集}{nx至少存在一个聚点).,(0x2、若)(xf在),(ba上连续有界，则)(xf在),(ba上一致连续.正确。证：)(xf在),(ba上连续有界，故)(limxfax与)(limxfbx都有存在，不妨设为BA,.设)(xFbxBbaxxfaxA,),(,)(,则)(xF在],[ba上连续，从而)(xF一致连续，故)(xf在),(ba上一致连续。3、若)(xf,)(xg在]1,0[上可积，则nindxxgxfnignifn110)()()1()(1lim.正确。证：)(xf,)(xg在]1,0[上可积，故对,|)(|,0],1,0[MxfMx且)(xf)(xg在上也可积，对0故nininignifnninifn11)1()(1))((1nininifn1))((1两边对n分别取极限由夹逼性知nindxxgxfnignifn110)()()1()(1lim.4、若1nna收敛，则12nna收敛.错误。反例11)1(nnn收敛,但11nn发散.5、若在2R上定义的函数),(yxf存在偏导数),(yxfx,),(yxfy且),(yxfx,),(yxfy在(0,0)上连续，则),(yxf在(0,0)上可微.正确证：)0,0()0,0(fyxfz=))0,0()0,0((yfyxf))0,0()0,0((fyf=yyfxyxfyx)0,0()0,0(21有),(yxfx,),(yxfy在(0,0)上连续，)0,0()0,0(1xfxf,)0,0()0,0(2yfyf当)0,0(),(yx时，0,，根据定义，可知),(yxf在(0,0)上可微.6、),(yxf在2R上连续,})()(|),{(),(2202000ryyxxyxyxDr若rDdxdyyxfryx,0),(,0),,(00则.),(,0),(2Ryxyxf解：错误将),(00yxDr划分为两部分，其中取rrDyxDyxyxf21),(,1),(,1),(,由积分区间可加性知三、（15分）函数)(xf在).,(上连续，且,)(limAxfx求证：)(xf在).,(上有最大值或最小值。证：1)若Axf)(，显然)(xf在),(同时有最大、最小值A.2)否则21,xx当2xx或1xx时Axf)(定义Axfxx)(lim2Axfxx)(lim1，存在)(101xUx,)(202xUx使得Axf)(1或Axf)(1,Axf)(2或Axf)(2不妨设Axf)(1,Axf)(2(1)由)(xf在).,(上连续,所以)(xf在][2,1xx上连续，由最值定理知存在],[21xx,使得)(f最大（或最小）.由（1）知21,xx因此当21,xx时,)(xf在),(上有最大值或最小值。四、（15分）求证不等式:].1,0[,122xxx证：令12)(2xxfx,则0)1()0(ff,对]1,0[x,有xxfx22ln2)(',022ln2)(2''xxf因此)('xf在].1,0[上单调递减且连续,又022ln2)1(,02ln)0(''ff.故由介值定理知存在,使得那么在],0[上)(xf单调递增,在]1,[上)(xf单调递减.因此)(xf可在端点处取得最小值,又0)1()0(ff.所以在]1,0[上0)(xf,即].1,0[,122xxx五、设)(xfn,,2,1n在],[ba上连续,且)(xfn在],[ba上一致收敛于)(xf.若],[bax,0)(xf.求证:,0,N使],[bax,Nn,.)(xfn证:由函数列)}({xfn的每一项在],[ba连续且一致收敛于)(xf,可知)(xf在],[ba上也连续,因此有界.不妨设]},[|)(min{baxxfm,因为对任意],[bax,有0)(xf.所以0m)(xfn在],[ba上一致收敛于)(xf,即对,,0N对],[,baxNn有当取2m时,有对上述0,,N则(1)式成立,且六、（15分）设}{na满足（1）;,2,1,1000kknaank（2）级数1nna收敛.求证:0limnnna.证：级数1nna收敛，由级数收敛的柯西准则：,,0N对任何Zp,有||21pNNNaaa(1)由于;,2,1;,2,1,1000kknkaank那么pNNNaaa21pNppNNpNpapaaa12211100100100(2)而当p充分大时,1100pppN成立，故因此有0limnnna.七、（15分）若函数)(xf在),1[上一致连续，求证：xxf)(在),1[上有界.证:1)对0,0,0X,当X充分大时,对,,'''Xxx且满足||'''xx时有由极限存在的柯西准则知)(limxfx存在,不妨设为A,对(1)式中''x取极限,有则|||)(|'Axf存在1M,当Xx时2)因为)(xf在),1[上一致连续,则)(xf在],1[X上连续,所以)(xf在],1[X上有界.即存在],1[,2XxM有那么对],1[Xx有3)存在},,max{21MMM(2),(3)同时成立.即对],1[Xx有Mxxf|)(|.八、（15分）设),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在3R有连续偏导数，而且对以任意点),(00,0zyx为中心，以任意正数r为半径的上半球面,,)()()(:02202020zzrzzyyxxSr恒有rS.0),,(),,(),,(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP求证:.0),,(),,(,0),,(),,,(zyxQzyxPzyxRzyxyx
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