第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。解答此类问题的主要依据是容斥原理。容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。根据容斥原理二可得，在1~1001中，7、11和13的公倍数共有：11×13+7×13+7×11-13-11-7+1=281（个）在1~1001中，不是7、11或13的倍数共有：1001-281=720（个）答：分母是1001的最简真分数共有720个。[例2]蔡老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。问：（1）第二题做对第一题做不对有多少人？（2）两题都做不对的有多少人？思路剖析本题涉及到以下四类同学：第一题做对但第二题不对的人；第二题做对但第一题不对的人；两题都做对的人；两题都不对的人。如图3所示，用一长方形表示全班人数，其内画两个相交的圆，第一个圆表示做对第一题的人数；第二个圆表示做对第二题的人数；两圆相交的公共部分表示两题都做对的人数；长方形内、两圆之外的部分表示两题都不对的人数，依次进行计算。解答用a表示“第一题做对第二题不对的人数”；用b表示“第二题做对第一题不对的人数”；用c表示“两题都对的人数”，用d表示“两题都不对的为数。”根据题意可知：a+b+c+d=40(1)a+c=30(2)a+d=12(3)c=20(4)由式（2）、（4），得a=10(5)由式（3）、（5），得d=2(6)由式（1）、（4）、（5）、（6），得b=8答：第二题做对第一题做不对的有8人，两题都做不对的有2人。[例3]向100名同学调查春游去长城还是去香山的态度，赞成去长城的人数是全体的；赞成支香山的人数比赞成去长城的多6人，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多2人，求对去长城和香山都赞成和都不赞成的学生各有多少人？思路剖析所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在100名同学中，由于问题较复杂，我们在100人中利用逐步排除法进行计算。如图4所示，用长方形I表示100名被调查的学生，A表示赞成去长城的学生，B表示赞成去香山的学生，则A中有（人），B中有60+6=66（人），若设去两处都赞成的学生有x人，则去两都不赞成的学生有。解答由以上分析可以列出方程解得x=21故答：去两处都赞成的学生有21人，去两处都不赞成的学生有16人。[例4]如图5所示，直角三角形三边长分别3厘米、4厘米和5厘米，分别以三边为半径作半...
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