4．6向量的应用双基达标(限时20分钟)1．若AB＝2e1，DC＝4e1，且AD与CB的模相等，则四边形ABCD是()．A．平行四边形B．梯形C．等腰梯形D．菱形解析AB＝DC，∴AB＝CD，AB∥CD，又|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD为等腰梯形．答案C2．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是()．A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上D．点P在AC边上解析PC＝AB－PB－PA＝AB＋BP＋AP＝2AP，故PC、AP共线，故P、A、C三点共线，故P在AC上．答案D3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ＝()．A．30°B．60°C．90°D．120°解析如图，作|OA|＝|F|，|OB|＝|F|，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OACB为菱形，因为|F|＝|G|，所以由向量加法的平行四边形法则可知，∠AOC＝∠BOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.故选D.答案D4．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析|v水|＝|v船|＝5.答案55．过点A(2，3)且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程是________．解析设直线上任一点P(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)．由AP·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.答案2x＋y－7＝06．在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，M为AD与BE的交点，求证：点M分别将线段AD、BE分成2∶1的两部分．证明如图，设AM＝xAD，BM＝yBE，∵D为BC的中点．∴AD＝(AB＋AC)，∴AM＝AB＋AC.又E为AC的中点，∴BE＝BA＋AE＝－AB＋AC.∴AM＝AB＋BM＝AB＋yBE＝AB＋y(－AB＋AC)＝(1－y)AB＋AC.∵AB、AC不共线，由平面向量基本定理知，⇒x＝y＝.∴AM＝AD，BM＝BE，即AM＝2MD，BM＝2ME.故点M分别将线段AD、BE分成2∶1的两部分．综合提高限时25分钟7．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为()．A．(－2，4)B．(－30，25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析设(－10，10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由题意有AA1＝5v.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒⇒答案C8．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()．A．|AC|2＝AC·ABB．|BC|2＝BA·BCC．|AB|2＝AC·CDD．|CD|2＝解析AC·AB＝|AC|·|AB|·cosA＝|AC|2，所以A选项正确；同理B选项也正确；由于S＝|AB|·|CD|＝|AC|·|BC|，所以|CD|2＝＝，故D选项正确，只有C错误．答案C9．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等于________．解析如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴BC＝－3CE.答案－310．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状一定是________．解析∵(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝2－2＝|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形．答案等腰三角形11．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．解(1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设点M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE，DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点，则CN⊥AB，∴CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4，4)，4∴(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH所在的直线方程．12．(创新拓展)求cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos的值．解如图，在直角坐标系中，作边长为1的正七边形，则七条边所对应的七个向量为AB，BC，CD，DE，EF，FG，GA，显然，它们的和为0.AB＝(cos0，sin0)＝(1，0)，BC＝(cos，sin)，CD＝(cos，sin)，DE＝(cos，sin)，EF＝(cos，sin)，FG＝(cos，sin)GA＝(cos，sin)．1∴＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0，故cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝－1.
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