4.5向量的数量积4.5.1向量的数量积双基达标(限时20分钟)1．下列命题中正确的是()．A．|a·b|＝|a|·|b|B．a·b≠b·aC．(λa)·b≠a·(λb)D．非零向量a与b的夹角余弦值为解析根据向量的数量积的定义可知选D.答案D2．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()．A．7B．10C．14D．70解析F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×＝70.答案D3．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝()．A．12B．12C．－12D．－12答案C4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影值为________．解析|a|cos〈a，b〉＝＝.答案5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________．解析∵AD＝＝AB＋AC，BC＝AC－AB.∴AD·BC＝(2AB＋AC)·(AC－AB)＝(2AB·AC－22＋2－AB·AC)＝(2×1×cos120°－2×22＋1)＝－.答案－6．已知|a|＝3，|b|＝4，两量的夹角θ＝60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解(a＋2b)·(a－3b)＝a2－3a·b＋2a·b－6b2＝32－3·4cos60°－6·42＝－93.综合提高限时25分钟7．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()．A．－B．0C.D．3解析a·b＝BC·CA＝－CB·CA＝－|CB||CA|cos60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.答案A8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于()．A．－B．－C.D.解析如图，由题知，PB＋PC＝2PM，PA·(PB＋PC)＝PA·2PM，∵|AM|＝1，∴|PA|＝，|PM|＝，∴PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝－××2＝－.答案A9．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝________．解析因为|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC为直角三角形，其中∠B＝90°.所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0＋|BC||CA|·cos(π－C)＋|CA||AB|cos(π－A)＝－4×5×－5×3×＝－25.答案－2510．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|sinθ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．解析∵cosθ＝＝，sinθ＝，∴|a×b|＝|a||b|sinθ＝1×5×＝3.答案311.如图，已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC.解(1)AB与AC的夹角为60°.∴AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝1×1×＝.(2)AB与BC的夹角为120°.∴AB·BC＝|AB||BC|cos120°＝1×1×－＝－.(3)BC与AC的夹角为60°.∴BC·AC＝|BC||AC|cos60°＝1×1×＝.12．(创新拓展)m，n为单位向量，夹角为60°.(1)求(3m＋5n)与(2m－n)的夹角的余弦值．(2)若(2m－n)与(km＋n)夹角为120°，求k.解(1)由已知得m·n＝，所以(3m＋5n)·(2m－n)＝，|3m＋5n|＝＝7，|2m－n|＝cos∴θ＝，即所求夹角的余弦值为.(2)已求得|2m－n|＝，又|km＋n|＝，(2m－n)·(km＋n)＝k，所以k＝··cos120°，解得k＝1(舍去)或k＝－，∴k＝－.
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