4.3向量与实数相乘双基达标(限时20分钟)1．2(3a－2b)－3(a－b)等于()．A．3a－bB．－bC．9a－7bD．9a－b解析2(3a－2b)－3(a－b)＝6a－4b－3a＋3b＝3a－b.答案A2．四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，BD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()．A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析∵CD＝BD－BC＝－a－2b，∴AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．答案B3．若O是平行四边形ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1等于()．A.BOB.AOC.COD.DO解析因为e2－e1＝BC－AB＝BC＋BA＝(BC＋BA)＝BD＝BO，故选A.答案A4．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b方向相反，则a＝________b.答案－5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.解析∵m与n共线，∴m＝λn(λ∈R)，即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴，解答k＝.答案6．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，试用a，b表示BC和MN.解在题图中，连接CN，∵N为AB的中点，∴AN綉DC，∴四边形ANCD是平行四边形．CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，∴BC＝－NB－CN＝－a＋b，MN＝CN－CM＝CN＋AN＝a－b.综合提高限时25分钟7．如图，已知AP＝AB，AQ＝AB，用OA、OB表示OP，则OP等于()．A.OA＋OBB．－OA＋OBC．－OA－OBD.OA－OB解析OP＝OA＋AP＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝－OA＋OB.答案B8．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，∴△ABC中BC的中线在直线AP上，故直线AP一定通过△ABC的重心．答案C9．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________．解析2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，∴y＝a－b＋c.答案a－b＋c10．在四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，若AB＝a，CD＝b，则EF＝________．(用a、b表示)解析∵EF＝ED＋DC＋CF，EF＝EA＋AB＋BF，∴2EF＝(ED＋DC＋CF)＋(EA＋AB＋BF)＝－b＋a.∴EF＝a－b.答案a－b11．(1)设a、b是两个不共线向量，已知AB＝3a－2b，BC＝－2a＋4b，CD＝－2a－4b，试判断A、C、D三点是否共线；(2)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形．(1)解∵AC＝AB＋BC＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又CD＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴CD＝－2AC，从而向量CD与AC共线．又∵有公共点C，故A、C、D三点共线．(2)证明∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD＝2BC.∴AD与BC共线，且|AD|＝2|BC|.∵这两个向量所在直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD、BC为两条底边的梯形．12．(创新拓展)如右图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC上的点且DM＝DC，BN＝BC，设AM＝a，AN＝b，试以a、b为基底表示AB和AD.解∵AD＋DM＝AM，而DM＝DC＝AB，AM＝a，∴AD＋AB＝a.①又AB＋BN＝AN，而BN＝BC＝AD，AN＝b，∴AB＋AD＝b.②联立①②解得：AB＝a＋b，AD＝a－b.
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