第41卷第3期2006年6月西南交通大学学报JOURNALOFSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITYVol.41No.3Jun.2006收稿日期:2005210213作者简介:冉志红(1978-),男,博士研究生,研究方向为既有桥梁的损伤评估,电话:028286464029,E2mail:zhihong_ran@163.com文章编号:025822724(2006)0320355205斜拉索非线性振动的奇异摄动解法冉志红,李乔(西南交通大学土木工程学院,四川成都610031)摘要:为解决目前斜拉索振动计算的困难,建立了考虑垂度和斜度的斜拉索振动微分方程.用微分方程的奇异摄动解法,导出了频率和振型函数的解析计算式,从而可广泛用于斜拉索的参数识别、索力测试和修正等.数值计算结果表明,用奇异摄动解法导出的公式计算简便,计算误差在0.5%以内.关键词:斜拉索;非线性振动;摄动法中图分类号:U448.27文献标识码:ASingularPerturbationMethodforSolvingNon2linearVibrationofInclinedCablesRANZhihong,LIQiao(SchoolofCivilEng.,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031,China)Abstract:Tosolvethedifficultinthecalculationofcablevibration,anon2lineardynamicmodelforinclinedcableswassetupbytakingthegeometricalnon2linearityintoaccount.Theequationwassolvedusingthesingularperturbationmethod,andtheanalyticalexpressionsoffrequencyandformfunctionwerederived.Theexpressionscanbewidelyusedforthefieldsofthemeasurementcorrectionofcableforceandtheidentificationofparametersofacablestructure.Thenumericalcalculationsindicatethattheexpressionsaresimpleandpractical,andthecalculationerrorislessthan0.5%.Keywords:inclinedcable;non2linearvibration;perturbationsmethod近年来,斜拉桥得到了广泛应用,其主跨已超过1000m,索的非线性振动已成为研究的热点.考虑抗弯刚度、边界条件、垂度和斜度等影响因素后,振动微分方程变得异常复杂,目前只能对这些因素进行数值分析.但非解析的分析方法很难用于工程实际,因此,寻求既能考虑这些非线性影响因素又能使解析式表达较为简单的计算方法具有重要意义.Benedetini和Rega等研究了悬索的四自由度模型,考虑了1∶1和1∶2两种内共振形式[1].他们的试验结果表明,当索的参数满足一定条件时,索的非线性模态相互耦合.文献[2]从非线性动力学的角度用Melnikov方法和留数定理分析了非惯性参考系中斜拉索的全局分岔与混沌性质,并用数值方法模拟该系统的混沌运动.文献[3],[4]中给出了两端固结时频率方程在实际应用范围内的近似解析解.本文中从微分方程奇异摄动的基本思想出发,导出了频率和振型函数的解析计算式.这种精度较高的频率显式能够满足工程的实际需要,具有较强的实用性.1微分方程的建立采用以下假定(如图1):(1)索为柔性,且不考虑索力对索线密度的影响.西南交通大学学报第41卷图1斜拉索示意图Fig.1Thesketchofaninclinedcable(2)面内和面外摆振不具有耦合性,可以将索的振动看成平面问题,且不考虑沿索轴向的振动.(3)振动引起的挠度远小于索的静载挠度.(4)用抛物线代替悬链线,其静力方程为[2]:y=-4dx(L-x)L2,式中:d为垂度,d=mgL2cosθ0/(8Fh)(m为沿斜拉索均布的单位长度的质量,g为重力加速度,其余见图1).根据牛顿运动定律,可以建立斜拉索的振动微分方程,并基于上述假定对方程进行简化.按泰勒级数将微分方程的变系数展开取前2项,可得考虑垂度和斜度的微分方程(因旨在计算斜拉索的固有频率,故略去不含时间的非齐次项,这些项可以通过坐标变换消去):m1+a4-axL+ax2L2v=Fh1cosθ0-b+bxLvxx-EIvxxxx,(1)式中:v=v(x,τ)为索振动引起的斜拉索;a为考虑垂度影响的项,a=32d2/L2;b为考虑斜度影响的项,b=4dsinθ0/(Lcos2θ0);vxx和vxxxx分别为斜拉索斜拉索v对坐标x的二阶和四阶偏导数;EI为斜拉索的抗弯刚度;τ为时间.对于a,b两项,由于各项的分母都含有索长L,分子都含有垂度d,因此可以预测,相对垂度ξ=d/L是非线性影响的关键因素,这与实际物理事实相符.研究表明[5]:斜度对频率的影响很小,可以忽略,即可以令b=0.而垂度只对低阶影响较大,特征值λ展开式(见式(5))中后几项在高阶时才起作用,因此,特征值级数展开式中仅考虑第1项的垂度修正.计算过程中,先按a=0...
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