高斯型求积公式VIP专享VIP免费

第七章微积分的数值计算方法：一个求积代数精度的概念公式的准确程7.3高斯型求积公式=0()()d1nbkkakkkkAxxnxnfxxAf：对于一般的插值求积公式来说，不管在积分区间上的个插值结点如何选取，其至少为；而只要选取合适的与，此插值求积公注代数精度代数式的达精度到最大。问题:是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式更高代数精度的求积公式?最高能达到多大?度对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式是插值型求积公式.事实上,插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定.节点数目固定后,节点分布不同,所达到的代数精度也不同.问题:寻找最高代数精度的求积公式010,,()()22!对于任意的求积节点a及求积系数求积公式的代数精度必小于nnbkkakxxxbfxdxAfxn220112100()[()()()]()()0,I()()0nnbannkkknkkkfxxxxxxxxfxdxAfxAxn这是因为对于2n+2次代数多项式有I=而数值积分故最高可能代数精度为2n+1.5为具有一般性，研究带权积分,d)()(baxxxfI求积公式为,)(d)()(0nkkkbaxfAxxxf为不依赖于的求积系数.),,1,0(nkAk)(xf(1)),,1,0(nkxk为求积节点，kkAx及可适当选取,),,1,0(nk使（1）具有次代数精度.12n问题如果求积公式(1)具有次代数精度，12n则称其节点为高斯点，相应公式(1)称为高斯求积公式.),,1,0(nkxk定义如何构造高斯求积公式？根据定义要使(1)具有次代数精度，只要对12n),12,,1,0()(nmxxfm令(1)精确成立，.12,,1,0,d)(0nmxxxxAnkbammkk可以由上式求出).,,1,0(nkAxkk及试构造下列积分的高斯求积公式：例).()(d)(110010xfAxfAxxfx令公式(1)对于准确成立，32,,,1)(xxxxf.92131030AxAx;3210AA;520000AxAx;72121020AxAx由于非线性方程组，通常就很难求解.2n而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.高斯点的基本特性高斯点的基本特性尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。高斯点与正交多项式的零点=0()()()()dd110=()()()=0bkkkankknnknbaxxfxfPxPxAxxxxxnx：插值求积公式其节点为的充要条件是以这些点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式定理7-在积分区间上1高斯点正交均，即1[a,b]n+1))((knxPx高斯点是上的次多项即式的根=0d()()()()d110=()()()()((0))=nkbkkaknkbnnnkanxxfxfxAxxxnxxxxxxPxP：带权插值求积公式其结点为的充要条件是以这些点为零点的多项式与任何次数不超过的多项定理7-2带权式在积分区间上关于权函数均正交，即高斯点。()()1[a,b]n+1()knxxPx高斯点是上关于权函数的次多项式的根即（2）11.d)()(d)()(babaxxxqxxxfnxxx,,,10是高斯点，因此，如果.)()()()()(011nkknkkbanxxPAdxxxxP因),,,1,0(0)(1nkxkn即有故(2)成立.精确成立，)()()(1xxPxfn则求积公式(1)对于充分性.用除，)(1xn)(xf记商为),(xP余式为),(xq即,)()()()(1xqxxPxfn其中.nHxqxP)(),(,)(12nHxf对于由(2)可得证明必要性.,)(nHxP设,)()(121nnHxxP则（3）12由于求积公式(1)是插值型的，它对于是精确的，nHxq)(即再注意到),,,1,0(0)(1nkxkn),,,1,0()()(nkxfxqkk知从而由(3)有babaxxxqxxxfd)()(d)()(.)(0nkkkxfA.)(d)()(0nkkkbaxqAxxxq13可见求积公式(1)对一切次数不超过的多项式均精确成立.因此，为高斯点.12n),,1,0(nkxk定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式(1)的高斯点.],[ba)(x1n有了求积节点，再利用),,1,0(nkxknkbammkkxxxxA0d)(对成立，nm,,1,0).,,1,0(nkAk解此方程则得的线性方程.nAAA,,,10则得到一组关于求积系数14Gauss型求积公式的构造方法Gauss型求积公式的构造方法(1)求出区间[a,b]上权函数为正交多项式pn+1(x).)(x...