第三节反证法与放缩法一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()．①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．答案C2．已知p＝a＋，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则()．A．p>qB．p0，∴p≥2＋2＝4，而q＝2－(a－2)2＋2，根据a>2，可得q<22＝4，∴p>q.答案A3．不等式a>b与>能同时成立的充要条件是()．A．a>b>0B．a>0>bC.<<0D.>>0解析充分性易证．下面用反证法说明必要性．若a，b同号且a>b，则有<，此时不能保证a>b与>同时成立，∴a，b只能异号，即a>0>b.答案B4．若f(x)＝x，a，b都为正数，A＝f，G＝f()，H＝f，则()．A．A≤G≤HB．A≤H≤GC．G≤H≤AD．H≤G≤A解析∵a，b为正数，∴≥≥＝＝，又∵f(x)＝x为单调减函数，∴f≤f()≤f，∴A≤G≤H.答案A二、填空题5．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是____________．解析m≤＝＝1，n≥＝＝1.答案m≤n6．若|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________________．解析当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.综上，|a＋b|＋|a－b|<2.答案|a＋b|＋|a－b|<27．设a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．解析∵a＞0，b＞0，∴N＝＋＞＋＝＝M.∴M＜N.答案M＜N8．已知a，b，c，d都是正数，S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．答案(1,2)三、解答题9．设x>0，y>0，z>0，求证：＋>x＋y＋z.证明∵＝>x＋，①＝>z＋，②∴由①②得：＋>x＋y＋z.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列的前n项和为Tn≤，求证：Tn＜.(1)解由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，即an＋1－an＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝4n－3.(2)证明Tn…＝＋＋＋…＝＋＋＋＋＝＝＜.又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，≤得Tn＜.
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