第6课时椭圆一、填空题1．(·江苏连云港市高考模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．答案：2．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________________．解析：设椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)．∴标准方程为＋＝1.答案：＋＝13．(南京市高三调研)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM＝MB，则该椭圆的离心率为________．解析：A点坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.答案：4．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)若椭圆＋＝1(m，n>0)的离心率为，一个焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意得：焦点坐标为(2,0)，∴c＝2， ＝，∴a＝4，∴m＝a2＝16，n＝b2＝a2－c2＝12，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝15．(盐城市高三第一次调研)设A，F分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：根据题意知，点A(－a,0)，F(c,0)，右准线x＝，所以a＋c≥－c，即2c2＋ac－a2≥0，故2e2＋e－1≥0，又0
b>0)的左焦点F(－c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由条件得椭圆的左准线方程为x＝－，从而由0)的左、右焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1·BF2≥F1F22，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设B(0,b),F1＝(－c，0)，F2＝(c，0)，BF1＝(－c，－b)，BF2＝(－c，－b)，F1F2＝(2c,0)，BF1·BF2＝b2－c2，因为F1F22＝2c2，因为BF12＝2c2，因为BF1·BF2≥F1F22＝2c2，因为BF12，所以b2－c2≥2c2，即b2≥3c2，所以a2≥4c2，所以e2≤，所以e∈.答案：二、解答题8．设P是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值．解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则PQ＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)PQ2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)(y－)2－＋1＋a2.因为|y|≤1，a>1，若a≥，则||≤1，当y＝时，PQ取最大值；若1b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设点Q为椭圆E上的一个动点，求AP·AQ的取值范围．解：(1)将点A代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5. m<3，∴m＝1.∴圆C：(x－1)2＋y2＝5.设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. 直线PF1与圆C相切，∴＝.解得k＝，或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4，即F1(－4,0)，F2(4,0)．2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.椭圆E的方程为：＋＝1.(2)AP＝(1,3)，设Q(x，y)，AQ＝(x－3，y－1)，AP·AQ＝(x－3)＋3(y－1)＝x...
VIP
