专题3实践操作与探究常考类型分析专题类型突破类型1关于直线型物体的操作探究问题【例1】一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)．探究如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm;(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB)(3)求α的度数．拓展在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．图3图4延伸在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM＝1dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3.【思路分析】“探究”(1)常用三角函数或者勾股定理求直角三角形的边长．根据三视图和正方体特征可知：在Rt△BCQ中，BC＝AB＝4dm，CQ＝5dm，利用勾股定理即可求得BQ的长；(2)题目中给出了直棱柱体积公式，直接利用所给公式求液体的体积；(3)利用△BCQ中的∠BCQ的三角函数值，求α的度数．“拓展”根据液体体积不变列方程，变形求得关系式．“延伸”正面示意图中的液面被MN分割成两部分，这两部分分别是直角三角形和直角梯形，据此求得剩余液体的体积，进一步推断溢出液体的体积，作出判断．解：探究(1)CQ∥BE.由左视图知，正方体容器ABCD－A′B′C′D′的棱长为4dm，由主视图知，CQ＝5dm，【解】证明：(1) 四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°. MN⊥AF，∴∠AHM＝90°.∴∠BAF＋∠MAH＝∠MAH＋∠AMH＝90°.∴∠BAF＝∠AMH.在△AMN和△BAF中，图1图2满分技法?直线型物体的综合实践探究与操作题的解决策略：理解物体的操作规则，抽象概括出几何模型，画出不同情形下的图形，并推导计算，得出几何量的通式或函数关系．满分变式必练?1.实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．解：(1)猜想：∠MBN＝30°.证明：如图1，连接AN. 直线EF是AB的垂直平分线，∴NA＝NB.由折叠的性质，可知BN＝AB.∴AB＝BN＝AN.∴△ABN是等边三角形．∴∠ABN＝60°.折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP.证明：由折叠的性质，可知△MOP≌△MNP.2.如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙，无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将?ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S矩形AEFG∶S?ABCD＝.(2)?ABCD纸片还可以按图3方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长；(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．3.问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常用到比较两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.问题解决如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a，b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．解：由图可知，M＝a2＋b2，...
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