波利亚合情推理模式合理性之新证陈翠花翟永恒（河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡453007）摘要：本文以主观贝叶斯理论为工具，对波利亚的合情推理模式及相应的论证模式在形式上予以统一，并对猜想的证据不确定情况之合理性进行了补证.关键词：主观贝叶斯理论；合情推理模式；概率演算1波利亚对其合情推理模式合理性的论证及其不足波利亚借鉴凯恩斯等人的研究成果，使用概率演算的方法对合情推理模式的合理性进行了论证.但由于数学猜想没有随机性（只能真或假），不满足进行概率演算的前提条件，所以波利亚首先进行了一些界定：将猜想A成立的可靠性，即研究者对猜想A成立的信心这一带有随机性的值作为运算对象，并假定研究者具有客观性.通过这一极富创造性的界定，波利亚成功的实现了对合情推理的首次定量研究.然而我们知道，合情推理的主要思路是：通过考察猜想A的相关猜想B的真假，从而帮助判断A的真假.波利亚详细分析了当研究者成功断定了B的真假后对A的认识将如何变化，即P(A|B)或P(A|┐B)与P(A)相比发生了怎样的变化.但实际上，猜想B多数也是很难断定真假的.对于这种不确定情况，也许是受当时不确定推理的定量研究还不够成熟的限制，波利亚并没有对此给出回答，并且到目前为止，数学教育领域对不确定情况基本上仍停留在波利亚的研究成果上.今天，研究不确定推理的方法已经很多，如在人工智能领域广泛使用的主观贝叶斯理论、模糊数学等，这就为我们更全面的论证合情推理模式的合理性提供了新的理论工具.本文借鉴人工智能领域内用来模拟不确定推理的主观贝叶斯理论，将各种合情推理模式在形式上予以统一，并对合情推理模式的合理性进行了比较全面的论证.2主观贝叶斯理论简介[1]135-139主观贝叶斯理论及相应的推理模型是由杜达（R·O·Duda）等人1976年提出的，并在斯坦福大学著名的矿藏勘探专家系统PROSPECTOR中获得了成功的应用.2.1几率函数几率函数O（A）等价于概率函数P（A）,定义如下：O（A）=，P（A）=其中P(A)∈[0，1],O(A)∈[0，+∞).显然，概率越大则几率越大，当A为不可能事件时O(A)=0,A为必然事件时O（A）=+∞.2.2充分性度量与必要性度量由几率函数定义与概率相关知识可知：，充分性度量LS记LS=,则O（A|B）=LS·O(A)①LS反映了B对A的支持程度,LS越大表明B对A越支持，即B的出现对A充分性越大.其中当LS=0时，O（A|B）=0，说明B真则A假；当LS∈（0，1）时，O（A|B）O(A)，B支持A；当LS=+∞时，B真则A真，说明B的出现对A是充分的.必要性度量LN记LN=，则=LN·O(A)②LN反映了┐B对A的支持程度，即B的出现对A的必要性.其中当LN=0时,=0，┐B真则A假，说明B的出现对A是必要的；当LN∈(0,1)时O(A)，说明┐B支持A；当LN=+∞时，┐B真则A真.2.3主观贝叶斯推理模型及相关算法图一是主观贝叶斯推理模型的示意图.其中B、A、LS和LN分别代表证据、结论、推理模型的充分性度量和必要性度量.特别要注意的是，LS和LN的取值范围决定了证据B与结论A间的逻辑关系.例如，若LN=0且LS=+∞，则A与B互为充要条件，即.使用此模型进行推理基本过程是：根据证据B的先验概率P（B）和LS、LN,将结论A的先验概率P（A）更新为形如P（A|B）、P（A|┐B）的后验概率.其中，P(A)、P(B)、LS、LN的值均由相关领域的专家给出.由于证据B的真假可能是确定的，也可能是不确定的，还可能是多个证据的组合，而各种情况下A的后验概率计算方法各不相同，所以下面对这三种情况分别进行讨论.证据B确定若B真,③若B假，④证据B不确定现实中，证据B大多是不确定的，需要先对证据B进行考察（记为S），以求出B成立的概率P(B|S).这样，结论A成立的可能性实际上是以考察S为基础的，所以A成立的概率应表示为P(A|S).整个推理过程可以表述为:利用P（B|S）、P(A)、LS和LN，求结论A的后验概率P（A|S）.根据杜达等人1976年证明的一个公式：P（A|S）=P（A|B）P(B|S)+P(A|┐B)P(┐B|S)BALSLN图一可得：⑤从函数图像（图二）容易看出：当P(B|S)=0时，P（A|S）＝P...
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