高考总复习高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1．已知an＝，数列{an}的前n项和为Sn，已计算得S1＝－1，S2＝－1，S3＝1，由此可猜想Sn＝()A.－1B.－1C.－2D.－2[答案]B2．已知Sk＝＋＋＋…＋(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1等于()A．Sk＋B．Sk＋－C．Sk＋－D．Sk＋＋[答案]C[解析]Sk＋1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋－＝Sk＋－.3．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案]D[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D.(8n＋1)个[答案]C[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．7．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)含详解答案高考总复习D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案]D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.8．(2010·天津滨海新区五校)若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝()A．nB.C.D．1[答案]A[解析]易知f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝，…，f(n)＝；由fn(x)＝fn－1(f(x))得，f2(x)＝，f3(x)＝，…，fn(x)＝，从而f1(1)＝，f2(1)＝，f3(1)＝，…，fn(1)＝，，所以f(n)＋fn(1)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝n.9．(2010·曲阜一中)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是()A．[，2)B．[，2]C．[，1]D．[，1)[答案]D[解析]由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝f2(1)＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝f3(1)＝3，…，an＝f(n)＝fn(1)＝n，∴Sn＝＋2＋3＋…＋n＝＝1－()n， n∈N*，∴≤Sn<1.10．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧……这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为()A．(3n2＋n)πB．(3n2－n＋1)πC.D.[答案]A[解析]由条件知，，，…，An－1An对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为，×2，×3…，据题意，第一圈长度为(1＋2＋3)，第二...
