数列的前n项和一、创设问题情景1.已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.解:（Ⅰ）设等比数列的公比为,依题意有,(1)又,将(1)代入得.所以.于是有解得或又是递增的,故.所以.(Ⅱ),.故由题意可得,解得或.又,所以满足条件的的最小值为13.二、学生探究自学（一）前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+…an。（二）数列求和的方法（共8种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）。2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。13.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常见放缩公式：.三、引导学生探究题型1公式法例1数列{bn}的通项公式为bn=3n－1.（1）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.解:（1）Sn==n2+n.（2）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+·3d=n2－n；b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.Pn－Qn=（n2－n）－（3n2+26n）=n（n－19）.所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn.2变式训练1等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－p，则＝________.解：1）当n=1时，；2）当时，。因为数列为等比数列，所以从而等比数列为首项为1，公比为2的等比数列。故等比数列为首项为1，公比为的等比数列。小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列为等比数列，则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。题型2分组求和法例2在数列中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈.（1）设，求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn。解：（1）且为以1为首项，以4为公比的等比数列（2）变式训练2数列中，，且点在函数的图象上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，依次抽取第3，4，6，…，，…项，组成新数列，试求数列的通项及前项和.解：（Ⅰ） 点在函数的图象上，∴。3∴，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，∴。（Ⅱ）依题意知：∴==.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。题型3裂项相消法例3(武汉市2008届高三调研测试文科)设数列{}na的前n项和。（1）求数列{}na的通项公式na；(2)记(1)nnnba，求数列nb前n项和nT解：（1）数列na的前n项之和在n=1时，111(1)(241)18as在2n时，1nnnass212(1)(241)(1)[2(1)4(1)1]nnnnnn(1)4(1)nnn而n=1时，18a满足(1)4(1)nnann故所求数列na通项(1)4(1)nnann4（2） (1)1111()4(1)41nnnbannnn因此数列nb的前n项和当堂检测已知数列na的前n项和为nS，11a，141nnSa，设12nnnbaa．（Ⅰ）证明数列nb是等比数列；（Ⅱ）数列nc满足21log3nncb*()nN，求1223341nnnTcccccccc。证明：（Ⅰ）由于141nnSa，①当2n时，141nnSa．②①②得1144nnnaaa．所以1122(2)nnnnaaaa．又12nnnbaa，所以12nnbb．因为11a，且12141aaa，所以21314aa．...
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