1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)教学目的:知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。教学重点:正、余弦函数的周期性教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.问题:(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?2.观察正(余)弦函数的图象总结规律:自变量x232202322函数值sinx010101010正弦函数()sinfxx性质如下:(观察图象)1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;2规律是:每隔2重复出现一次(或者说每隔2k,kZ重复出现)3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明结论:象这样一种函数叫做周期函数。文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;1符号语言:当x增加2k(kZ)时,总有(2)sin(2)sin()fxkxkxfx.也即:(1)当自变量x增加2k时,正弦函数的值又重复出现;(2)对于定义域内的任意x,sin(2)sinxkx恒成立。余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。二、讲解新课:1.周期函数定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有:f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。问题:(1)对于函数sinyx,xR有2sin()sin636,能否说23是它的周期?(2)正弦函数sinyx,xR是不是周期函数,如果是,周期是多少?(2k,kZ且0k)(3)若函数()fx的周期为T,则kT,*kZ也是()fx的周期吗?为什么?(是,其原因为:()()(2)()fxfxTfxTfxkT)2、说明:1周期函数x定义域M,则必有x+TM,且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界;2"每一个值"只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+t)f(x0))3T往往是多值的(如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y=sinx,y=cosx的最小正周期为2(一般称为周期)从图象上可以看出sinyx,xR;cosyx,xR的最小正周期为2;判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期?(()fxc没有最小正周期)3、例题讲解例1求下列三角函数的周期:①xycos3②xy2sin(3)12sin()26yx,xR.解:(1) 3cos(2)3cosxx,∴自变量x只要并且至少要增加到2x,函数3cosyx,xR的值才能重复出现,所以,函数3cosyx,xR的周期是2.(2) sin(22)sin2()sin2xxx,∴自变量x只要并且至少要增加到x,函数sin2yx,xR的值才能重复出现,2所以,函数sin2yx,xR的周期是.(3) 1112sin(2)2sin[()]2sin()262626xxx,∴自变量x只要并且至少要增加到x,函数sin2yx,xR的值才能重复出现,所以,函数sin2yx,xR的周期是.说明:(1)一般结论:函数sin()yAx及函数cos()yAx,xR(其中,,A为常数,且0A,0)的周期2T;(2)若0,例如:①3cos()yx,xR;②sin(2)yx,xR;③12sin()26yx,xR.则这三个函数的周期又是什么?一般结论:函数sin()yAx及函数cos()yAx,xR的周期2||T例2先化简,再求函数的周期①xxycossin②xxxxy22sinsincos32cos③证明函数|cos||sin|)(xxxf的一个周期为2,并求函数的值域;例3求下列三角函数的周期:1y=sin(x+3)2y=cos2x3y=3sin(2x+5)解:1令z=x+3而sin(2+z)=sinz即:f(2+z)=f(z)f[(x+2)+3]=f(x+3)∴周期T=22令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(...