平面向量的数量积及其运用1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos__叫与的数量积，记作，即有=||||cos特别提醒：（1）（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0（2）两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1)==||cos；2)=03)当与同向时，=||||；当与反向时，=||||特别的=||2或4)cos=；5)||≤||||3．“投影”的概念：如图定义：_____|b|cos_______叫做向量b在a方向上的投影特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|4．平面向量数量积的运算律交换律：=数乘结合律：()=()=()分配律：(+)=+5．平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：设，，则18.两向量夹角的余弦（）cos=222221212121yxyxyyxx★重难点突破★1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题3.重难点：.(1)向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1:两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2:表示方法的区别数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．问题3:相关概念及运算的区别⑴若a、b为实数，且a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．⑵若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ1，、夹角为θ2，则由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．⑶若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．⑷若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．★热点考点题型探析★考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹角；：直接用定义或性质计算2¦È¦È12bca解析：：考虑公式cos=。解析：【名师指引】注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题若非零向量、满足，证明:：只须证明。解析：由得:展开得:,故3在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值：注意分情况计论解析：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=23当B=90时，=0，==(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=【名师指引】是一个常用的结论。【新题导练】1．（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）已知向量，，若，则n（）A．B．C．D．答案：D解析：解得n2．执信中学2008-2009学年度高三数学试卷知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A．B．C．D．答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.B.C.D.：要求两向量夹角θ的取值范...
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