数列通项公式的求法及数列求和方法详解专题一：数列通项公式的求法一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）.二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；答案：an=a1+(n－1)d=2(n－1)；bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例3.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即公式法2：知利用公式.例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）.（2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.练习：（1）；（2），；（3），．三、累加法【型如的递推关系】1简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以数列的通项公式为。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以练习1：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项..答案：练习2：若在数列中，，，求通项.答案：=练习3：已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：2四、累积法【形如=(n)·型】（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7、已知数列满足，且，求的通项公式．解：由得．故有：，，……，，．将以上个式子作积得：，∴．当时，也满足上式．∴．练习1：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式.答案：练习2：已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式.答案：思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：【形如,其中)型】（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得，所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.例9：已知数列的递推关系为，且求通项.答案：3构造2：倒数为特殊数列【形如】例11：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.答案构造3：例12：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。例13：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故时因此，则时也成立.例14：已知数列满足，求数列的通项公式。解：上式两边同时除以得，令，则设，即，所以，故，因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，所以4构造四.形如(其中p,r为常数)型（1）p>0，用对数法.例6.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则，是以2为公比的等比数列，，，，∴练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.答案：六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例15（1）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.解析：由题得①时，②由①、②得.（2）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式答案（3）已知数列中，求通项.答案七、【讨论法-了解】（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如型①若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，...
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