由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．等差数列等比数列定义数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d数列{an}的后一项与前一项的比为常数q（q≠0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n－1）dan=a1·qn－1前n项和Sn=Sn=数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求Sn=．解：因为an==所以Sn==1－例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．用心爱心专心解：∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=∴an=练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．解：∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1用心爱心专心∴是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……用心爱心专心S3－S1=3·将以上各式叠加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．综上所述an=，即an=（－1）n－1·．例5．（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．练习2．在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．解：an+12=an2+∴an+12－1=（an2－1）∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．∴an+12－1=3×，即an=例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．用心爱心专心所以是常数列，且a1－=－．所以=－，即an=．练习3．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式．解：∵an=Sn－Sn－1∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化简得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，an+1=．（1）求证：an
0，所以log2（2－an+1）=log2（2－an）2=2·log2（2－an）－1∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log2（2－an）－1=－1×2n－1化简得an=2－．用心爱心专心练习4．（2006年广州二模）已知函数（）．在数列中，，（），求数列的通项公式．解：，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。例8．（三角代换类型）已知数列{an}中，a1=2，an=，求{an}的通项公式．解：令an－1=tan，则an+1==tan∴an=tan．用心爱心专心
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